Sở GD&ĐT Nghệ An Kỳ Thi Chọn Học Thi Giỏi Lớp 9
Năm Học 2013-2014
Đề Chính Thức Môn Thi: Toán- Bảng A
Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1
a.Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $2013^{k}-1$ chia hết cho $10^5$
b. Tìm mọi số nguyên $x$ sao cho $x^2+28$ là số chính phương
Chon day so tu 2013,20132,...,$_{2013^{10^{5}}}$ roi chia cho 105
co 105 phep chia ma chi co 105 so du
=> co it nhat 2 so co cung so du (dirichle)
goi 2 so do la $2013^{10^{i}}$ va $2013^{10^{j}}$ (i,j la so tu nhien va j>i);
=>$2013^{10^{j}}-2013^{10^{i}}\vdots 10^{5}$
=>$2013^{10^{i}}.(2013^{10^{j}-10^{i}}-1)\vdots 10^{5}$
=>$2013^{10^{j}-10^{i}}-1\vdots 10^{5}$
=>tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $2013^{k}-1$ chia hết cho $10^5$