Trường THPT chuyên Bắc Quảng Nam
Cuộc thi giải toán chào mừng 83 năm thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh
Đề chính thức
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} +3\right )=3\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2\\ 4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}=x^{2}+3x+2 \end{matrix}\right.$
Bài 2: Cho $n=26^{26}+3^{3}+2014^{1931}$. Gọi S(x) là tổng các chữ số của số tự nhiên x. Đặt a=S(n), b=S(a) và c=S(b). Tìm c.
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc + a + b = c. Tìm giá trị lớn nhất của P biết ;
$P= \frac{26}{1+a^{2}}+\frac{3}{1+b^{2}}-\frac{3}{1+c^{2}}$
Bài 4: Cho hình thang có ba cạnh cùng độ dài là a. Tìm hình thang có diện tích lớn nhất.
Bài 5: Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f\left ( 1 \right )=-1, g\left ( 0 \right )=2$. Tìm f(2014) biết rằng:
$f\left ( x+y \right )+g\left ( x-y \right )=2f\left ( x \right )+2g\left ( y \right ), \forall x,y\in \mathbb{R}$
Bài 6: Cho đa giác đều 101 cạnh , các đỉnh của đa giác được tô bởi hai màu xanh và đỏ. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại tam giác cân (các đỉnh là đỉnh của đa giác đều 101 cạnh) sao cho ba đỉnh được tô cùng một màu (xanh hoặc đỏ).
Đ/s: 1) (2,0)
2) 5
3) $\frac{2713}{104}$
4) Hình thang cân có góc ở đáy $60^{o}$
5) 4056194
6) là bài toán lí luận nên để các bạn giải.