Chủ đề này có 3 trả lời

[thpthang]

Định lý: Nếu $T$ là tích trong trên $V$ thì $V$ có cơ sở $\left \{ v_i \right \}_{i=1}^{n}$ sao cho $T(v_i,v_j)=\delta _{ij}$ và do đó tồn tại đẳng cấu $f:\mathbb{R}^{n} \to V$ sao cho $T(f(x),f(y))=\left \langle x,y \right \rangle$.

[thpthang]

Chứng minh

 

Giả sử $\left \{ w_i \right \}_{i=1}^{n}$ là một cơ sở của $V$.

 

Ta đặt

 

$w_{1}^{'}:=w_1$

 

$w_{'}^{2}:=w_2-\frac{T(w_{1}^{'},w_2)}{T(w_{1}^{'},w_{1}^{'})}$

 

$w_{3}^{'}:=w_3-\frac{T(w_{1}^{'},w_3)}{T(w_{1}^{'},w_{1}^{'})}w_{1}^{'}-\frac{T(w_{2}^{'},w_3)}{T(w_{2}^{'},w_{2}^{'})}w_{2}^{'}$

 

...

 

Khi đó $T(w_{i}^{'},w_{j}^{'})=0, \forall i \neq j$ và $T(w_{i}^{'},w_{i}^{'})>0,$ với $w_{i}^{'} \neq 0$.

 

Đặt $v_i=\frac{w_{i}^{'}}{\sqrt{T(w_{i}^{'},w_{i}^{'}))}}$.

 

Chỗ mình chưa hiểu : " Dễ dàng kiểm tra thấy rằng $\left \{ v_i \right \}_{i=1}^{n}$ là một cơ sở của $V$ và đẳng cấu $f$ xác định bởi $f(e_i)=v_i$ "

 

Bạn nào viết tường minh chỗ này cho mình hiểu được không? Thanks! ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thpthang: 15-03-2014 - 21:24

[thpthang]

Mình nêu lại một số khái niệm

 

Hàm đa tuyến tính $T : V^{k} \to \mathbb{R}$ được gọi là một k-tensor.

 

Tích trong là một 2-tensor thỏa

 

a) $T(x,y)=T(y,x)$.

 

b) $T(x,x)>0, \forall x \in V$ \ $\{ 0 \}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thpthang: 15-03-2014 - 21:31

[thpthang]

Nghe ông thầy nói là giống bên phần trực giao của không gian Euclide.