Chủ đề này có 8 trả lời

[Pham Le Yen Nhi]

Câu 1.(4 điểm)

a) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là một số nguyên

b)Cho số n nguyên dương tùy ý .Xét ba số tự nhiên là $a=11...1$(có 2n chữ số 1),$b=11...1$(có n+1 chữ số 1) và $c=66...6$(có n chữ số 6).Chứng minh rằng $a+b+c+8$ là một số chính phương

Câu 2.(4 điểm)

a)Cho x,y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2\leq x+y$.Chứng minh rằng $x+y\leq 2$

b)Giải phương trình $x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=15$

Câu 3.(4 điểm)

a)Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (x+y+z)^2=3(xy+yz+xz)\\ x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3^{2014} \end{matrix}\right.$

b)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình $x^3-y^3+2x^2+3x+1=0$

Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

$f(x)=\left | x-1 \right |+2\left | x-2 \right |+3\left | x-3 \right |+4\left | x-4 \right |+5\left | x-5 \right |$

Câu 5.(4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=8cm,AC=6cm.Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với hai cạnh AB,BC lần lượt tại E,F.Tia AO cắt EF  tại K.Chứng minh rằng tứ giác KFCO nội tiếp và tính diện tích tam giác OKC

Câu 6.(2 điểm) Cho tam giác ABC đều.Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\widehat{BAM}=15^o$ .Đường thẳng qua điểm C và song song với đường thẳng AB cắt đường thẳng AM tại điểm N.Chứng minh rằng $\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{3}{4AB^2}$

[Viet Hoang 99]

Câu 1.(4 điểm)

a) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là một số nguyên

b)Cho số n nguyên dương tùy ý .Xét ba số tự nhiên là $a=11...1$(có 2n chữ số 1),$b=11...1$(có n+1 chữ số 1) và $c=66...6$(có n chữ số 6).Chứng minh rằng $a+b+c+8$ là một số chính phương

Câu 2.(4 điểm)

a)Cho x,y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2\leq x+y$.Chứng minh rằng $x+y\leq 2$

b)Giải phương trình $x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=15$

Câu 3.(4 điểm)

a)Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (x+y+z)^2=3(xy+yz+xz)\\ x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3^{2014} \end{matrix}\right.$

b)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình $x^3-y^3+2x^2+3x+1=0$

Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

$f(x)=\left | x-1 \right |+2\left | x-2 \right |+3\left | x-3 \right |+4\left | x-4 \right |+5\left | x-5 \right |$

Câu 5.(4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=8cm,AC=6cm.Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với hai cạnh AB,BC lần lượt tại E,F.Tia AO cắt EF  tại K.Chứng minh rằng tứ giác KFCO nội tiếp và tính diện tích tam giác OKC

Câu 6.(2 điểm) Cho tam giác ABC đều.Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\widehat{BAM}=15^o$ .Đường thẳng qua điểm C và song song với đường thẳng AB cắt đường thẳng AM tại điểm N.Chứng minh rằng $\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{3}{4AB^2}$

Câu 1:
a) Đặt 2 số dưới căn rồi giải được bằng $3$.

b) Đặt $11...1$ (n chữ số) là $a$ và giải.

 

[phuocdinh1999]

Câu 2.(4 điểm)

a)Cho x,y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2\leq x+y$.Chứng minh rằng $x+y\leq 2$

b)Giải phương trình $x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=15$

 

a) Ta có: $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\Rightarrow 2(x+y)\geq (x+y)^2\Rightarrow x+y\leq 2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

b)ĐK: $x\neq -1$

$x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=15\Leftrightarrow \left ( x-\frac{x}{x+1} \right )^2+2x.\frac{x}{x+1}=15$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{x^2}{x+1} \right )^2+2.\frac{x^2}{x+1}-15=0$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{x^2}{x+1}-3 \right )\left ( \frac{x^2}{x+1} +5\right )=0$

$TH1:\frac{x^2}{x+1}=3\Leftrightarrow x^2-3x-3=0\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{21}}{2}$

$TH2:\frac{x^2}{x+1}=-5\Leftrightarrow x^2+5x+5=0\Rightarrow x=\frac{-5\pm \sqrt{5}}{2}$

[phuocdinh1999]

Câu 3.(4 điểm)

a)Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (x+y+z)^2=3(xy+yz+xz)(1)\\ x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3^{2014}(2) \end{matrix}\right.$

b)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình $x^3-y^3+2x^2+3x+1=0$

 

 

a) $PT(1)\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\Rightarrow x=y=z$

Thay vào $PT(2)\Rightarrow 3x^{2013}=3^{2014}\Rightarrow x=y=z=3$

b)$GT\Leftrightarrow y^3=x^3+2x^2+3x+1$

Lại có: $(x-1)^3<x^3+2x^2+3x+1\leq (x+1)^3\Rightarrow x-1<y\leq x+1$

$TH1:y=x\Rightarrow 2x^2+3x+1=0\Rightarrow x=y=-1$

$TH2:y=x+1\Rightarrow x=0\Rightarrow y=1$

Vậy $(x;y)=(-1;-1);(0;1)$

[HoangHungChelski]

Câu 2: 
a. Ta có $\frac{(x+y)^2}{2}\leq x^2+y^2$$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2}{2}\leq x+y\Leftrightarrow x+y\leq 2$
Dấu = khi $x=y$

[PT42]

Câu 1a)

(Nháp) :Tìm các số hữu tỷ a, b sao cho 

$9 + 4\sqrt{5} = (a + b\sqrt{5})^{3} = a^{3} + 3a^{2}b\sqrt{5} + 15ab^{2} + 5\sqrt{5}b^{3}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{3} + 15ab^{2} = 9\\ 3a^{2}b + 5b^{3} = 4 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 4a^{3} - 27a^{2}b + 60ab^{2} - 45b^{3} = 0$

$\Rightarrow (a - 3b)(4a^{2} - 15ab + 15b^{2}) = 0$

$\Rightarrow (a - 3b)\left ( \left ( 2a - \frac{15b}{4} \right )^{2} + \frac{15b^{2}}{16} \right ) = 0$

$\Rightarrow$ a = 3b hoặc a = b = 0 $\Rightarrow$ a = 3b

$\Rightarrow 3a^{2}b + 5b^{3} = 27b^{3} + 5b^{3} = 32b^{3} = 4$ $\Rightarrow b = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow a = 3b = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow$ $9 + 4\sqrt{5} = \left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{3}$

$\Rightarrow 9 - 4\sqrt{5} = \frac{1}{9 + 4\sqrt{5}} = \frac{1}{\left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{3}} = \left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{3}$

 

Làm:  Ta có $9 + 4\sqrt{5} = \frac{27 + 3. 3^{2}. \sqrt{5} + 3. 3. 5 + 5\sqrt{5}}{8} = \frac{(3 + \sqrt{5})^{3}}{8} = \left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{3}$

$9 - 4\sqrt{5} = \frac{27 - 3. 3^{2}. \sqrt{5} + 3. 3. 5 - 5\sqrt{5}}{8} = \frac{(3 - \sqrt{5})^{3}}{8} = \left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{3}$

Nên $\sqrt[3]{9 + 4\sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4\sqrt{5}}$ = $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ = 3 là số nguyên.

 

b) a + b + c + 8 = $\frac{10^{2n} - 1}{9} + 10. \frac{10^{n} - 1}{9} + 1 + 6. \frac{10^{n} - 1}{9} + 8$

= $\frac{10^{2n} + 16. 10^{n} + 64 }{9}$

= $\left ( \frac{10^{n} + 8}{3} \right )^{2}$

Vì $10^{n} + 8$ chia hết cho 3 nên $\left ( \frac{10^{n} + 8}{3} \right )^{2}$ là số chính phương

$\Rightarrow a + b + c + 8$ là số chính phương.

 

Câu 2a) Có $x^{2} - 2x + 1 + y^{2} - 2y + 1 = (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \geq 0$

$\Rightarrow x + y \geq x^{2} + y^{2} \geq 2(x + y) - 2$

$\Rightarrow x + y \leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 29-03-2014 - 22:09

[caybutbixanh]

Câu 1:
a) Đặt 2 số dưới căn rồi giải được bằng $3$.

b) Đặt $11...1$ (n chữ số) là $a$ và giải.

 

Câu 1a lập phương lên là đc....có lẽ không cần giải ra đâu bạn nhỉ

 

3b dùng phương pháp kẹp là được

Tại sao các bạn cứ nói mà không làm là sao nhỉ ? Để tăng bài viết nhanh nhất sao ?

Mỗi người lên đây là để học do đó các bạn nên trình lời giải bởi nói thì rất hay nhưng ai biết được sai hay đúng ? Vả lại đâu phải cứ dễ là làm đúng đâu !

Bởi vậy mình mong các bạn nên có một bài làm hoàn chỉnh để việc học tập tốt hơn.

Thân ái.

[Math Hero]

Câu 1.(4 điểm)

a) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là một số nguyên

 

Đặt A =$\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$

$\Rightarrow A^{3}=(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}})^{3}$

$\Rightarrow A^{3}=18+3(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}).\sqrt[3]{(9-4\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})}$

$\Rightarrow A^{3}=18+3A$

$\Rightarrow A^{3}-3A+18=0$

$\Rightarrow (A+3)(A^{2}-3A+6)=0$

$\Rightarrow A=-3$

$\Rightarrow$ $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là một số nguyên

[chmod]

Câu 1.(4 điểm)

a) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ là một số nguyên

b)Cho số n nguyên dương tùy ý .Xét ba số tự nhiên là $a=11...1$(có 2n chữ số 1),$b=11...1$(có n+1 chữ số 1) và $c=66...6$(có n chữ số 6).Chứng minh rằng $a+b+c+8$ là một số chính phương

Câu 2.(4 điểm)

a)Cho x,y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2\leq x+y$.Chứng minh rằng $x+y\leq 2$

b)Giải phương trình $x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=15$

Câu 3.(4 điểm)

a)Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (x+y+z)^2=3(xy+yz+xz)\\ x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3^{2014} \end{matrix}\right.$

b)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình $x^3-y^3+2x^2+3x+1=0$

Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

$f(x)=\left | x-1 \right |+2\left | x-2 \right |+3\left | x-3 \right |+4\left | x-4 \right |+5\left | x-5 \right |$

Câu 5.(4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=8cm,AC=6cm.Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với hai cạnh AB,BC lần lượt tại E,F.Tia AO cắt EF  tại K.Chứng minh rằng tứ giác KFCO nội tiếp và tính diện tích tam giác OKC

Câu 6.(2 điểm) Cho tam giác ABC đều.Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\widehat{BAM}=15^o$ .Đường thẳng qua điểm C và song song với đường thẳng AB cắt đường thẳng AM tại điểm N.Chứng minh rằng $\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{3}{4AB^2}$

câu 4  luôn nhé đặt f(x)=A cho dễ viết nhé , ta xét 6 khoảng

 

xét $x\leqslant 1 \Rightarrow A=1-x+2(2-x)+3(3-x)+4(4-x)+5(5-x)=55-15x \geq 55-15=40$

 

Xét $1< x\leq 2 \Rightarrow  A=x-1+2(2-x)+3(3-x)+4(4-x)+5(5-x)=53-13x\geq 53-13.2=27$

 

Xét $2< x\leq 3 \Rightarrow A=x-1+2(x-2)+3(3-x)+4(4-x)+5(5-x)=45-9x\geq 45-9.3=18$

 

Xét $3< x\leq 4 \Rightarrow A=x-1+2(x-2)+3(x-3)+4(4-x)+5(5-x)=27-3x\geq 27-3.4=15$

 

Xét $4< x\leq 5 \Rightarrow A=x-1+2(x-2)+3(x-3)+4(x-4)+5(5-x)=-5+5x>-5+5.4=15$

 

Xét $5< x \Rightarrow A=x-1+2(x-2)+3(x-3)+4(x-4)+5(x-5)=15x-55\geq 15.5-55=20$

 

 Ngó các trường hợp thấy MIN A=15

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chmod: 31-03-2014 - 00:21