Đến nội dung


Hình ảnh

Tính $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n^6}{n^4}.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 29-03-2014 - 23:27

Cho dãy $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_0\ge 0$ và xác định bởi $\sqrt{x_n}=\frac{x_n-x_{n+1}+1}{x_{n+1}-x_n}$. Tính $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n^6}{n^4}.$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1797 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 05-10-2017 - 09:47

Cho dãy $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_0\ge 0$ và xác định bởi $\sqrt{x_n}=\frac{x_n-x_{n+1}+1}{x_{n+1}-x_n}$. Tính $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n^6}{n^4}.$

 

Hệ thức truy hồi được viết lại: $x_{n+1}=\frac{\sqrt{x_n}^3+x_n+1}{\sqrt{x_n}+1}.$

 

Dễ thấy $\{x_n\}$ tăng và không bị chặn. Vì thế $\lim x_n=\infty$.

 

Xét $\sqrt{x_{n+1}^3}-\sqrt{x_{n}^3}= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x_n}^3+x_n+1}{\sqrt{x_n}+1}\right)^3}-\sqrt{x_{n}^3}.$

 

 

 

Ta thử tính $\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right).$

 

Đặt $f(x)= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}.$

 

$\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{ \left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3-\sqrt{x^3}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}}$

 

$=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x}^9 + 3\sqrt{x}^8 + 3\sqrt{x}^7 + 3\sqrt{x}^6 + 3\sqrt{x}^5 + 2\sqrt{x}^3 + 3\sqrt{x}^2 + 1}{(\sqrt{x}+1)^3f(x)}=1.$

 

Suy ra $\lim \left(\sqrt{x_{n+1}^3}-\sqrt{x_{n}^3}\right)=1.$ Do đó, theo Césaro, $\lim \frac{\sqrt{x_n^3}}{n}=1.$ Vì thế $\lim \frac{x_n^6}{n^4}=1.$ 


Đời người là một hành trình...


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2017 - 20:33

Hệ thức truy hồi được viết lại: $x_{n+1}=\frac{\sqrt{x_n}^3+x_n+1}{\sqrt{x_n}+1}.$

 

Dễ thấy $\{x_n\}$ tăng và không bị chặn. Vì thế $\lim x_n=\infty$.

 

Xét $\sqrt{x_{n+1}^3}-\sqrt{x_{n}^3}= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x_n}^3+x_n+1}{\sqrt{x_n}+1}\right)^3}-\sqrt{x_{n}^3}.$

 

 

 

Ta thử tính $\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right).$

 

Đặt $f(x)= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}.$

 

$\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{ \left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3-\sqrt{x^3}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}}$

 

$=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x}^9 + 3\sqrt{x}^8 + 3\sqrt{x}^7 + 3\sqrt{x}^6 + 3\sqrt{x}^5 + 2\sqrt{x}^3 + 3\sqrt{x}^2 + 1}{(\sqrt{x}+1)^3f(x)}=1.$

 

Suy ra $\lim \left(\sqrt{x_{n+1}^3}-\sqrt{x_{n}^3}\right)=1.$ Do đó, theo Césaro, $\lim \frac{\sqrt{x_n^3}}{n}=1.$ Vì thế $\lim \frac{x_n^6}{n^4}=1.$ 

Bạn làm đúng ý tưởng cơ bản của những bài sử dụng định lí Cesàro rồi, nhưng bạn thử kiểm tra lại cái giới hạn xem. Có vẻ nó không giống máy tính 

 

http://www.wolframal..., x = infinity)


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1797 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 15-10-2017 - 05:54

/

Bạn làm đúng ý tưởng cơ bản của những bài sử dụng định lí Cesàro rồi, nhưng bạn thử kiểm tra lại cái giới hạn xem. Có vẻ nó không giống máy tính 

 

http://www.wolframal..., x = infinity)

 
Thanks! Nhầm lẫn ở chỗ nhân lượng liên hiệp mà quên bình phương (chỗ đóng khung).

 

 

 

$\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{ \left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3-\fbox{\sqrt{x^3}}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}}$

 

 

 


Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh