Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min, max của $A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Tom Xe Om

Tom Xe Om

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

Cho x, y là các số thực thỏa mãn 4x^2+y^2=1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức $A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}$

Chú ý: Kẹp $ vào đầu và cuối công thức LATEX


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-03-2014 - 15:33


#2
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Cho x, y là các số thực thỏa mãn 4x^2+y^2=1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức $A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}$

Chú ý: Kẹp $ vào đầu và cuối công thức LATEX

Thế x theo A và y rồi thay vào GT, dùng Vi-ét là được


Đứng dậy và bước tiếp

#3
LyTieuDu142

LyTieuDu142

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Từ đề =>

 

$2xA+yA+2A-2x-3y=0$
 
$\Leftrightarrow 2A=2x(1-A)+y(3-A)$
 
$\Leftrightarrow (2A)^2\leq (4x^2+y^2)[(1-A)^2+(3-A)^2]$
 
Từ đây khai triển ra rồi tìm Min Max của A luôn thôi


#4
shinichigl

shinichigl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết

Ta đặt $a=2x$ và $m=\frac{a+3y}{a+y+2}$

Từ đó ta có $(m-1)a+(m-3)y+2m=0$ (1)

Xét $m\neq 1$, (1)$\Leftrightarrow a^2=\left [ \frac{(m-3)y+2m}{m-1} \right ]^2$

Thay $a^2=\left [ \frac{(m-3)y+2m}{m-1} \right ]^2$ vào giả thiết ta có

$\left [ \frac{(m-3)y+2m}{m-1} \right ]^2+y^2=1\Leftrightarrow (2m^2-8m+10)y^2+4m(m-3)y+(3m^2+2m-1)=0$ (2)

$\Delta ^{'}=4(m^2-3m)^2-(2m^2-8m+10)(3m^2+2m-1)=(1-m)^3(m+5)$

Để phương trình (2) có nghiệm thì $\Delta ^{'}\geq 0\Leftrightarrow(1-m)^3(m+5)\geq 0\Leftrightarrow (1-m)(m+5)\geq 0\Leftrightarrow-5\leq m<1$

Kết hợp với trường hợp $m=1$ ta có $-5\leq m\leq 1$

Vậy GTLN của A là 1 khi $(x;y)=(0;1)$

       GTNN của A là -5 khi $(x;y)=\left ( \frac{-3}{10};\frac{-4}{5} \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 30-03-2014 - 18:08






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh