Chủ đề này có 2 trả lời

[xCaroZ]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 $A=\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}$

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 $A=\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}$

Ta có

 

$2A=\sum \frac{2a^2b}{2a+b}=\sum (ab-\frac{ab^2}{2a+b})=\sum ab-\sum \frac{ab^2}{2a+b}$

 

Áp dụng BĐT Cô si

 

$\frac{ab^2}{2a+b}+\frac{a(2a+b)}{9}+\frac{ab}{3}\geqslant ab$

 

Thiết lập tương tự với các phan thức còn lại thì

 

$\sum \frac{ab^2}{2a+b}+\sum \frac{a(2a+b)}{9}+\sum \frac{ab}{3}\geqslant \sum ab$

 

hay $\sum \frac{ab^2}{2a+b}+\frac{2(a+b+c)^2}{9}\geqslant \sum ab$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab^2}{2a+b}\geqslant \sum ab-2$

 

$\Rightarrow 2A\leqslant \sum ab-\sum ab+2=2\Rightarrow A\leqslant 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 31-03-2014 - 17:56

[hoctrocuanewton]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 $A=\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}$

Cách 2 :

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{2}b}{2a+b}\leqslant \frac{1}{9}\sum (\frac{a^{2}b}{a}+\frac{a^{2}b}{a}+\frac{a^{2}b}{b})= \frac{1}{9}\sum (a^{2}+2ab)= \frac{1}{9}(a+b+c)^{2}= 1$