Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$
Chứng minh: $a+b+c\leq 3$
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$
Chứng minh: $a+b+c\leq 3$
Bài này chứng minh hay lắm!!!!!!!!
Ta chứng minh phản chứng:
Có nghĩa là giả sử a+b+c=3. Cần CM $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$
Thật vậy:
Ta có $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)+1$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$
Đặt a+b+c=p=3, ab+bc+ca=q, abc=r
Như vậy ta chỉ cần chứng minh: $9-2q+r\geq 4$$\Rightarrow r\geq 2q-5 (1)$
Mặt khác theo BĐT Schur $\sum a(a-b)(a-c)\geq 0$
$\Rightarrow r\geq \frac{4q-9}{3}(2)$
Từ (1), (2) ta cần Chứng minh $\frac{4q-9}{3}\geq 2q-5$$\Leftrightarrow q\leq 3$
Điều này luôn đúng => đpcm
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$
Chứng minh: $a+b+c\leq 3$
Áp dụng BĐT cô-si cho 3 số k âm $a^{2},b^{2},c^{2}$ ta có : $a^{2}+b^2+c^{2}\geq 3abc$
$a^{2}+b^2+c^{2}+abc\geq 4abc\geq 4$
$\Leftrightarrow abc\geq 1$
Áp dụng BĐT Bu-nhia-cốp-ski cho 2 bộ số $(1;1;1)$ và $(a;b;c)$ ta có:
$a.1+b.1+c.1\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\sqrt{3(4-abc)}\leq 3$ (đpcm)
Sorry, mình nhầm )) Mình làm sai rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocthinh02: 31-03-2014 - 22:51
Được voi đòi.....Hai Bà Trưng
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh