Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình $(y+1)^{x}=y!+1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Lee Sr

Lee Sr

    SO HOT

  • Hiệp sỹ
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:London School of Economics
  • Sở thích:Reading

Đã gửi 04-03-2006 - 08:43

1)Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n!$ tận cùng bằng $1987$ chữ số $0$
2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$$(y+1)^{x}=y!+1$$


Hình đã gửi

#2 thedragonknight

thedragonknight

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Hưng Đạo

Đã gửi 19-04-2013 - 17:24

1)Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n!$ tận cùng bằng $1987$ chữ số $0$
2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$$(y+1)^{x}=y!+1$$

Làm trước câu 1 nhá :D

Ta có: $n!\vdots 10^{1987}$. Suy ra $n!\vdots 2^{1987}$ và $n!\vdots 5^{1987}$

Suy ra $x_{1};x_2\geq 1987$ với $x_1;x_2$ lần lượt là số mũ của $2;5$ trong phân tích $n!$ ra thừa số nguyên tố. Ta cần tìm $n$ nhỏ nhất thỏa điều này nên $x_1=1987$ hoặc $x_2=1987$ mà $x_1>x_2$. Do đó $x_2=1987$

Khi đó ta có $\sum_{i=1}^{k}[\frac{n}{5^i}]=1987$

Ta có $\sum_{i=1}^{k}[\frac{n}{5^i}]\geq [\frac{n}{5}]\Rightarrow 1987\geq [\frac{n}{5}]\Rightarrow 1988.5\geq n$

Khi đó: $\sum_{i=1}^{5}[\frac{n}{5^i}]=1988$

Suy ra $\sum_{i=1}^{5}\frac{n}{5^i}\geq 1987\Rightarrow n\geq 7951$

Mặt khác: $\sum_{i=1}^{5}\frac{n}{5^i}-5\leq 1987\Rightarrow n\leq 7970$

Tới đấy ta thử trực tiếp tìm đc $n=7960$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-04-2013 - 18:24


#3 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 19-04-2013 - 18:38

1)Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n!$ tận cùng bằng $1987$ chữ số $0$
2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$$(y+1)^{x}=y!+1$$

Giải như sau:

Trước tiên suy ra $y+1$ là số nguyên tố vì nếu $y+1$ là hợp số thì $y! \vdots (y+1)$ khi ấy $1 \vdots y+1$ vô lí

Như vậy $y+1$ nguyên tố thì giải như bài sau:

http://diendantoanho...left-y-1-right/



#4 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 21-04-2013 - 21:36

Mở rộng bài toán

Xác định $(x,y)\epsilon N^*$ thỏa mãn $x!+y!=x^y$

Giải như sau

Với $(x,y)\epsilon [1,2]$ ta xét

Với $x=1$,$y=1$ phương trình vô nghiệm

Với $x=1$,$y=2$ phương trình vô nghiệm

Với $x=2$,$y=2$ phương trình vô nghiệm

Vói $(x,y)\geq 2$

Ta gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của min$(x,y)$

$\Rightarrow min(x,y)\leq 2p$

Vì $p\leq x,p\leq y$ nên $p|x!+y!$

KMTTQ giả sử min$(x,y)=x$ $\Rightarrow x<2p$

từ đây suy ra $p=x$

Lại có khi $x\geq 2,y\geq 2\Rightarrow 2|x!+y!\Rightarrow 2|x^y\Rightarrow 2|x\Rightarrow x=2$

thay vào ta có $2+y!=2^y$

$\Rightarrow y!=2(2^{y-1}-1)$

$\Rightarrow y\leq 3$ (vì $2^{y-1}$ lẻ)

Nên $(2,2),(2,3)$ là nghiệm


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#5 thedragonknight

thedragonknight

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Hưng Đạo

Đã gửi 21-04-2013 - 21:50

Mở rộng bài toán

Xác định $(x,y)\epsilon N^*$ thỏa mãn $x!+y!=x^y$

Giải như sau

Với $(x,y)\epsilon [1,2]$ ta xét

Với $x=1$,$y=1$ phương trình vô nghiệm

Với $x=1$,$y=2$ phương trình vô nghiệm

Với $x=2$,$y=2$ phương trình vô nghiệm

Vói $(x,y)\geq 2$

Ta gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của min$(x,y)$

$\Rightarrow min(x,y)\leq 2p$

Vì $p\leq x,p\leq y$ nên $p|x!+y!$

KMTTQ giả sử min$(x,y)=x$ $\Rightarrow x<2p$

từ đây suy ra $p=x$

Lại có khi $x\geq 2,y\geq 2\Rightarrow 2|x!+y!\Rightarrow 2|x^y\Rightarrow 2|x\Rightarrow x=2$

thay vào ta có $2+y!=2^y$

$\Rightarrow y!=2(2^{y-1}-1)$

$\Rightarrow y\leq 3$ (vì $2^{y-1}$ lẻ)

Nên $(2,2),(2,3)$ là nghiệm

Bài giải của bạn có 1 số chỗ chưa hợp lý. VD ko thể giả sử $min(x;y)=x$



#6 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 21-04-2013 - 23:11

Xin lỗi nha

Để mình bổ sung thêm

Giả sử $y\geq x$

$ x!+y!=y!(x(x-1)...(y+1)+1) $

Nhưng rõ ràng $ gdc(x(x-1)...(y+1)+1,x)=1 $

Nên $x(x-1)...(y+1)+1$ không thể là ước của $x^y$

từ đây ta quay lại T.HỢP $x\leq y$ xét như trên 


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-05-2013 - 15:45

Chấm bài:

thedragonknight: 10 điểm

 

nguyenta98: 10 điểm

 

barcavodich: 5 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh