Chủ đề này có 6 trả lời

[anhuyen2000]

cho abc= 1.CMR:$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhuyen2000: 02-04-2014 - 10:47

[Dam Uoc Mo]

cho abc= 1.CMR:$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}$$\geqslant \frac{3}{2}$ 

Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$ suy ra xyz=1.
BĐT tương đương với $\sum \frac{x}{y+z}\geq \frac{3}{2}$
Cái này chắc bạn dễ cm rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 02-04-2014 - 10:46

[caovannct]

cho abc= 1.CMR:$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}$

Theo Cosi - s vác ta có :$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}\geq \frac{(\sum \frac{1}{a})^2}{2\sum a}=\frac{(\sum ab)^2}{2\sum a}$

mà ta lại có $(\sum ab)^2\geq 3abc(\sum a)$

từ đó suy ra đpcm

[anhuyen2000]

Theo Cosi - s vác ta có :$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}\geq \frac{(\sum \frac{1}{a})^2}{2\sum a}=\frac{(\sum ab)^2}{2\sum a}$

mà ta lại có $(\sum ab)^2\geq 3abc(\sum a)$

từ đó suy ra đpcm

bài này hình như còn áp dụng được AM- GM thì phải mấy bạn ạ! Dạng của nó thế này: $\frac{m^{2}}{x}+\frac{n^{2}}{y}+\frac{k^{2}}{z}\geqslant \frac{(m+n+k)^{2}}{x+y+z}$

[shinichikudo201]

bài này hình như còn áp dụng được AM- GM thì phải mấy bạn ạ! Dạng của nó thế này: $\frac{m^{2}}{x}+\frac{n^{2}}{y}+\frac{k^{2}}{z}\geqslant \frac{(m+n+k)^{2}}{x+y+z}$

Cái đó là Cauchy-Schwarz dạng Engel (hay còn gọi là Schwarz)

[songchiviuocmo2014]

cho abc= 1.CMR:$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$ 

$\frac{1}{a^{2}(b+c)  + \frac{c+b}{4a}\geq \frac{1}{a\sqrt{a}$
$\frac{1}{b^{2}(a+c)  + \frac{a+c}{4b}\geq \frac{1}{b\sqrt{b}$
$\frac{1}{c^{2}(b+a)  + \frac{a+b}{4c}\geq \frac{1}{c\sqrt{c$}
Cộng vế theo vế ta có 
$S + \frac{ab}{4c}+ \frac{ac}{4b} + \frac{bc}{4a}\geq \frac{1}{a\sqrt{a}+\frac{1}{b\sqrt{b} +\frac{1}{c\sqrt{c}$
Mà $\frac{ab}{4c}+ \frac{ac}{4b} + \frac{bc}{4a}\leq  \frac{1}{2c\sqrt{c}+\frac{1}{2b\sqrt{b}+\frac{1}{2a\sqrt{a}$
Cộng vào => dpcm

[anhuyen2000]

$\frac{1}{a^{2}(b+c)  + \frac{c+b}{4a}\geq \frac{1}{a\sqrt{a}$
$\frac{1}{b^{2}(a+c)  + \frac{a+c}{4b}\geq \frac{1}{b\sqrt{b}$
$\frac{1}{c^{2}(b+a)  + \frac{a+b}{4c}\geq \frac{1}{c\sqrt{c$}
Cộng vế theo vế ta có 
$S + \frac{ab}{4c}+ \frac{ac}{4b} + \frac{bc}{4a}\geq \frac{1}{a\sqrt{a}+\frac{1}{b\sqrt{b} +\frac{1}{c\sqrt{c}$
Mà $\frac{ab}{4c}+ \frac{ac}{4b} + \frac{bc}{4a}\leq  \frac{1}{2c\sqrt{c}+\frac{1}{2b\sqrt{b}+\frac{1}{2a\sqrt{a}$
Cộng vào => dpcm

 

Bạn gõ công thức lại được không? Bạn gõ sai rồi!