Chủ đề này có 15 trả lời

[letankhang]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                    THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

         TỈNH ĐỒNG NAI                                                                          NĂM HỌC 2013-2014        
        ---------------------

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                           Môn: Toán

                                                                                                    Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                                    Ngày thi: 4/4/2014
Câu 1 :
Tìm các số thực $x$ thỏa mãn: $$x^4+2x^3+x^2+2x+1=0$$
Câu 2 :
Giải hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3+2y=1 & \\ y^3+2x=-1 & \end{matrix}\right.$$  

Câu 3 :
Cho $m,n$ là hai số nguyên dương lẻ thỏa : $\left\{\begin{matrix} (m^{2}+2)\vdots n & \\ (n^{2}+2)\vdots m & \end{matrix}\right.$

1) Hãy tìm một cặp gồm 2 số nguyên dương lẻ (m;n) thỏa các điều kiên đã cho với $m>1,n>1$
2) Chứng minh $(m^2+n^2+2)\vdots 4mn$
Câu 4 :
1) Tính số các ước dương của $1000$
2) Tính số các ước dương chẵn của $1000$
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ có ba góc $\widehat{CAB};\widehat{ABC};\widehat{BCA}$ đều là góc nhọn. Gọi $(O)$ là đường tròn tâm $O$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với 2 cạnh $AB;AC$ lần lượt tại $D;E$. Gọi $M$ là giao điểm của 2 đường thẳng $OB$ và $DE$, gọi $N$ là giao điểm của 2 đường thẳng $OC$ và $DE$. Chứng minh bốn điểm $B;C;M;N$ cùng thuộc 1 đường tròn


                                                            ---------Hết---------

[Near Ryuzaki]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                    THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

         TỈNH ĐỒNG NAI                                                                          NĂM HỌC 2013-2014        
        ---------------------

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                           Môn: Toán

                                                                                                    Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                                    Ngày thi: 4/4/2014
Câu 1 :
Tìm các số thực $x$ thỏa mãn: $$x^4+2x^3+x^2+2x+1=0$$
Câu 2 :
Giải hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3+2y=1 & \\ y^3+2x=-1 & \end{matrix}\right.$$  

Câu 3 :
Cho $m,n$ là hai số nguyên dương lẻ thỏa : $\left\{\begin{matrix} (m^{2}+2)\vdots n & \\ (n^{2}+2)\vdots m & \end{matrix}\right.$

1) Hãy tìm một cặp gồm 2 số nguyên dương lẻ (m;n) thỏa các điều kiên đã cho với $m>1,n>1$
2) Chứng minh $(m^2+n^2+2)\vdots 4mn$
Câu 4 :
1) Tính số các ước dương của $1000$
2) Tính số các ước dương chẵn của $1000$
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ có ba góc $\widehat{CAB};\widehat{ABC};\widehat{BCA}$ đều là góc nhọn. Gọi $(O)$ là đường tròn tâm $O$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với 2 cạnh $AB;AC$ lần lượt tại $D;E$. Gọi $M$ là giao điểm của 2 đường thẳng $OB$ và $DE$, gọi $N$ là giao điểm của 2 đường thẳng $OC$ và $DE$. Chứng minh bốn điểm $B;C;M;N$ cùng thuộc 1 đường tròn


                                                            ---------Hết---------

Câu 1. Chia cả 2 vế cho $x^2 \neq 0$

Câu 2. Công 2 phương trình lại

.......................
P/s: Đề năm nay có vẻ dễ, chú làm đc hết ko Khang ? ? ??? :v

[lahantaithe99]

 

Câu 1 :
Tìm các số thực $x$ thỏa mãn: $$x^4+2x^3+x^2+2x+1=0$$
Câu 2 :
Giải hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3+2y=1 & \\ y^3+2x=-1 & \end{matrix}\right.$$  

 

                                                            ---------Hết---------

Câu 1

$PT\Leftrightarrow (x^2+x+1)^2-2x^2=0$

$\Leftrightarrow (x^2+(1-\sqrt{2})x+1)(x^2+(1+\sqrt{2})x+1)=0$

Giải $2$ phương trình bậc $2$ là tìm đc $x$

Câu 2

Cộng theo từng vế có $(x+y)(x^2-xy+y^2+2)=0$

Dễ CM $x^2-xy+y^2+2>0\Rightarrow x+y=0\Rightarrow x=-y$

Thay vào $1$ trong $2$ phương trình thì giải ra tìm dc $x,y$

[phuocdinh1999]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                    THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

         TỈNH ĐỒNG NAI                                                                          NĂM HỌC 2013-2014        
        ---------------------

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                           Môn: Toán

                                                                                                    Thời gian làm bài: 150 phút

 

Câu 4 :
1) Tính số các ước dương của $1000$
2) Tính số các ước dương chẵn của $1000$

 

Câu dễ nhất

Phân tích nhân tử: $1000=2^3.5^3$

a) Số ước dương: $(3+1)(3+1)=16$

b)Các ước dương chẵn có dạng $2^x. 5^y$ với $0<x \leq 3$ ; $0 \leq y \leq 3$

Số ước dương chẵn: $3.4=12$ (vì $x$ có 3 cách chọn, $y$ có 4 cách)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 04-04-2014 - 11:44

[Juliel]

Làm bài được không 2 em ? Vãi cả đề. Câu số, hình lớp 10 với lớp 9 y chang nhau @@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 04-04-2014 - 12:45

[buiminhhieu]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                    THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

         TỈNH ĐỒNG NAI                                                                          NĂM HỌC 2013-2014        
        ---------------------

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                           Môn: Toán

                                                                                                    Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                                    Ngày thi: 4/4/2014
 

Câu 3 :
Cho $m,n$ là hai số nguyên dương lẻ thỏa : $\left\{\begin{matrix} (m^{2}+2)\vdots n & \\ (n^{2}+2)\vdots m & \end{matrix}\right.$

1) Hãy tìm một cặp gồm 2 số nguyên dương lẻ (m;n) thỏa các điều kiên đã cho với $m>1,n>1$
2) Chứng minh $(m^2+n^2+2)\vdots 4mn$



                                                            ---------Hết---------

Câu này có vẻ dễ nhất:

Ta có $\left\{\begin{matrix} m^{2}+2\vdots n & \\ n^{2}+2\vdots m& \end{matrix}\right.\Rightarrow (m^{2}+2)(n^{2}+2)\vdots mn\Rightarrow 2(m^{2}+n^{2}+2)\vdots mn$

Mà m,n lẻ nên $m^{2}+n^{2}+2\vdots mn$

Đặt $m^{2}+n^{2}+2=k mn\Leftrightarrow m^{2}+n^{2}+2-kmn=0(*)$

Gọi  (a,b) là cặp nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn PT  (*)  $a>b$

Ta có $a^{2}+b^{2}+2-kab=0$(1)

Coi (1) là PT ẩn a Trong đó k;b là tham số 

PT (1) là bậc 2 nên có  1 no là a no còn là no của PT (1) là $a_{0}$

Theo Vi-et:

$\left\{\begin{matrix} a+a_{0}=bk & \\ a.a_{0}=b^{2}+2& \end{matrix}\right.$

Do đó $a_{0}\in \mathbb{N}$ là no nguyên dương 

Từ đó $(b,a_{o})$ cũng là no PT (1) Mà (a,b) Min nên $a_{0}>a$(2)

$a_{0}=\frac{b^{2}+2}{a}<\frac{a^{2}+2}{a}=a+\frac{2}{a}<a+1$ do a,b lẻ >1 ;a>b

Do đó $a_{0}\leq a$ Kết hợp (2) ra vô líTừ đó Diều G/s là sai nên $b\geq a$

Nếu b>a cmtt 

$\Rightarrow b=a$$\Rightarrow 2a^{2}+2=ka^{2}\Rightarrow 2\vdots a^{2}\rightarrow a^{2}=1\Rightarrow k=4\Rightarrow QED$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 04-04-2014 - 12:54

[letankhang]

Làm bài được không 2 em ? Vãi cả đề. Câu số, hình lớp 10 với lớp 9 y chang nhau @@

Phần lớn tụi em ai cũng làm hết anh ạ, giờ chắc chỉ hơn nhau có phần trình bày @@!! 
Công nhận đề số hình giống nhau thật !!! )
Mà anh với mấy anh chị làm bài tốt không !? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 04-04-2014 - 13:28

[Juliel]

Câu này có vẻ dễ nhất:

Ta có $\left\{\begin{matrix} m^{2}+2\vdots n & \\ n^{2}+2\vdots m& \end{matrix}\right.\Rightarrow (m^{2}+2)(n^{2}+2)\vdots mn\Rightarrow 2(m^{2}+n^{2}+2)\vdots mn$

Mà m,n lẻ nên $m^{2}+n^{2}+2\vdots mn$

Đặt $m^{2}+n^{2}+2=k mn\Leftrightarrow m^{2}+n^{2}+2-kmn=0(*)$

Gọi  (a,b) là cặp nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn PT  (*)  $a>b$

Ta có $a^{2}+b^{2}+2-kab=0$(1)

Coi (1) là PT ẩn a Trong đó k;b là tham số 

PT (1) là bậc 2 nên có  1 no là a no còn là no của PT (1) là $a_{0}$

Theo Vi-et:

$\left\{\begin{matrix} a+a_{0}=bk & \\ a.a_{0}=b^{2}+2& \end{matrix}\right.$

Do đó $a_{0}\in \mathbb{N}$ là no nguyên dương 

Từ đó $(b,a_{o})$ cũng là no PT (1) Mà (a,b) Min nên $a_{0}>a$(2)

$a_{0}=\frac{b^{2}+2}{a}<\frac{a^{2}+2}{a}=a+\frac{2}{a}<a+1$ do a,b lẻ >1 ;a>b

Do đó $a_{0}\leq a$ Kết hợp (2) ra vô líTừ đó Diều G/s là sai nên $b\geq a$

Nếu b>a cmtt 

$\Rightarrow b=a$$\Rightarrow 2a^{2}+2=ka^{2}\Rightarrow 2\vdots a^{2}\rightarrow a^{2}=1\Rightarrow k=4\Rightarrow QED$

Ax, làm gì đụng tới nhảy Viete dữ vậy.

Chỉ cần nhân hai cái lại là được $mn\mid m^2+n^2+2$, xét đồng dư modulo 4 cho số chính phương lẻ nữa thì được $4\mid m^2+n^2+2$.

 

@Khang : Ừ, anh làm cũng ổn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 04-04-2014 - 19:29

[buiminhhieu]

Ax, làm gì đụng tới nhảy Viete dữ vậy.

Chỉ cần nhân hai cái lại là được $mn\mid m^2+n^2+2$, xét đồng dư modulo 4 cho số chính phương lẻ nữa thì được $4\mid m^2+n^2+2$.

 

@Khang : Ừ, anh làm cũng ổn.

Vâng đúng là khờ thật

m,n lẻ nên $m^{2}+n^{2}+2\vdots 4$ ra luôn!

[tinvip98]

 

Câu 5 mình đã có hướng giải nhưng đang gặp rắc rối:

Chứng minh EMCO là tứ giác nội tiếp => $\widehat{OEC} = \widehat{OMC} = 90^{\circ}$ => $M \in$ đường tròn đường kính BC $(1)$

Tương tự, DNBO là tứ giác nội tiếp => $\widehat{BNC} = \widehat{BDC} = 90^{\circ}$ => $N \in$ đường tròn đường kính BC $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ => B,C,M,N cùng thuộc một đường tròn, cụ thể là đường tròn đường kính BC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tinvip98: 04-04-2014 - 20:58

[letankhang]

 

Câu 5 mình đã có hướng giải nhưng đang gặp rắc rối:

Chứng minh EMCO là tứ giác nội tiếp => $\widehat{OEC} = \widehat{OMC} = 90^{\circ}$ => $M \in$ đường tròn đường kính BC $(1)$

Tương tự, DNBO là tứ giác nội tiếp => $\widehat{BNC} = \widehat{BDC} = 90^{\circ}$ => $N \in$ đường tròn đường kính BC $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ => B,C,M,N cùng thuộc một đường tròn, cụ thể là đường tròn đường kính BC

Câu hình thật ra rất đơn giản : 
Ta dễ dàng tính được : $\widehat{EDB}=90^{\circ}+\frac{\widehat{A}}{2}\Rightarrow \widehat{DMB}=180^{\circ}-90^{\circ}-\frac{\widehat{A}}{2}-\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{2}$
Mà : $\widehat{NCB}=\widehat{OCB}=\frac{\widehat{C}}{2}$
Nên : $\widehat{DMB}=\widehat{DCB}$
Suy ra điều phải chứng minh.

[hoangvipro1999]

gay

[trần văn minh]

câu số dẽ dàng chứng minh được (m,n)=1

(giả sử (m,n)=q=>q lẻ và rheo diều kiện 2chia hết cho q=>q=1)

do đó ta có thẻ chung minh chia hét cho 4, m,n ma khong càn biến đổi

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trần văn minh: 05-04-2014 - 08:13

[keobongon]

Câu 1

$PT\Leftrightarrow (x^2+x+1)^2-2x^2=0$

$\Leftrightarrow (x^2+(1-\sqrt{2})x+1)(x^2+(1+\sqrt{2})x+1)=0$

Giải $2$ phương trình bậc $2$ là tìm đc $x$

Câu 2

Cộng theo từng vế có $(x+y)(x^2-xy+y^2+2)=0$

Dễ CM $x^2-xy+y^2+2>0\Rightarrow x+y=0\Rightarrow x=-y$

Thay vào $1$ trong $2$ phương trình thì giải ra tìm dc $x,y$

bạn ơi cái phần mà (x^2+x+1)^2 kó phải bạn gôm các hạng tử x^4+x^2+1 lại phải k.nếu dậy thì hạng tử -2x^2 là sao mình k hiểu

[anhtuan2b]

Câu 1: Chia hai vế của pt cho $x^{2}$ để giải cũng được, sao mình gõ công thức không được ta

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtuan2b: 04-07-2014 - 15:50

[linhsq]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                    THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

         TỈNH ĐỒNG NAI                                                                          NĂM HỌC 2013-2014        
        ---------------------

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                           Môn: Toán

                                                                                                    Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                                    Ngày thi: 4/4/2014
Câu 1 :
Tìm các số thực $x$ thỏa mãn: $$x^4+2x^3+x^2+2x+1=0$$
Câu 2 :
Giải hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3+2y=1 & \\ y^3+2x=-1 & \end{matrix}\right.$$  

Câu 3 :
Cho $m,n$ là hai số nguyên dương lẻ thỏa : $\left\{\begin{matrix} (m^{2}+2)\vdots n & \\ (n^{2}+2)\vdots m & \end{matrix}\right.$

1) Hãy tìm một cặp gồm 2 số nguyên dương lẻ (m;n) thỏa các điều kiên đã cho với $m>1,n>1$
2) Chứng minh $(m^2+n^2+2)\vdots 4mn$
Câu 4 :
1) Tính số các ước dương của $1000$
2) Tính số các ước dương chẵn của $1000$
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ có ba góc $\widehat{CAB};\widehat{ABC};\widehat{BCA}$ đều là góc nhọn. Gọi $(O)$ là đường tròn tâm $O$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với 2 cạnh $AB;AC$ lần lượt tại $D;E$. Gọi $M$ là giao điểm của 2 đường thẳng $OB$ và $DE$, gọi $N$ là giao điểm của 2 đường thẳng $OC$ và $DE$. Chứng minh bốn điểm $B;C;M;N$ cùng thuộc 1 đường tròn


                                                            ---------Hết---------

đề thi ko quá khó