Chủ đề này có 1 trả lời

[dang123]

Tìm nguyên hàm của  $\sqrt{x^{2}+1}$

[25 minutes]

Tìm nguyên hàm của  $\sqrt{x^{2}+1}$

Xét $I=\int \sqrt{x^2+1}dx$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+1}=u\\dx=dv \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}=du\\x=v \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=x\sqrt{x^2+1}-\int \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+1}}=x\sqrt{x^2+1}-\int \frac{(x^2+1)-1}{\sqrt{x^2+1}}dx=x\sqrt{x^2+1}-I+\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$

$\Rightarrow 2I=x\sqrt{x^2+1}+\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=x\sqrt{x^2+1}+\int \frac{(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})dx}{x+\sqrt{x^2+1}}=x\sqrt{x^2+1}+\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

$\Rightarrow I=\frac{x\sqrt{x^2+1}+\ln (x+\sqrt{x^2+1})}{2}+C$