Đến nội dung

Hình ảnh

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(C^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
anhxuanfarastar

anhxuanfarastar

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 368 Bài viết

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhxuanfarastar: 06-04-2014 - 21:21

INTELLIGENCE IS THE ABILITY TO ADAPT TO CHANGE !!!


#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(C^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$

Áp dụng BĐT Bunhia

 

$3(a^2+2)(1+\frac{(b+c)^2}{2})\geqslant 3(a+b+c)^2$

 

Giờ cần CM $(b^2+2)(c^2+2)\geqslant 3(1+\frac{(b+c)^2}{2})$

 

(BĐT này đúng theo BĐT Cô si) (khi ta Biến đổi tương đương)

Vậy....



#3
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

trước tiên ta sẽ chứng minh

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)\geqslant (\frac{3}{2}(a+b)^{2}+3)$

$\Leftrightarrow (ab-1)^{2}+\frac{1}{2}(a-b)^{2}\geqslant 0$ (luôn đúng )

kết hợp điều trên và áp dụng bđt buniacốpski ta có :

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant (\frac{3}{2}(a+b)^{2}+3)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}$



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$

Lời giải.

Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}+(abc-1)^2$

Thật vậy, áp dụng bổ đề quen thuộc $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geqslant 2(ab+bc+ca)$, ta được: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)-3(a+b+c)^{2}-(abc-1)^2=(a^2+b^2+c^2+2abc+1)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-6(ab+bc+ca)+6\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-4(ab+bc+ca)+6=2\left [ (ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2 \right ]\geqslant 0$

Vậy ta có: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}+(abc-1)^2$ và bất đẳng thức cần chứng minh được giải quyết

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh