Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhxuanfarastar: 06-04-2014 - 21:21
Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhxuanfarastar: 06-04-2014 - 21:21
INTELLIGENCE IS THE ABILITY TO ADAPT TO CHANGE !!!
Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(C^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$
Áp dụng BĐT Bunhia
$3(a^2+2)(1+\frac{(b+c)^2}{2})\geqslant 3(a+b+c)^2$
Giờ cần CM $(b^2+2)(c^2+2)\geqslant 3(1+\frac{(b+c)^2}{2})$
(BĐT này đúng theo BĐT Cô si) (khi ta Biến đổi tương đương)
Vậy....
trước tiên ta sẽ chứng minh
$(a^{2}+2)(b^{2}+2)\geqslant (\frac{3}{2}(a+b)^{2}+3)$
$\Leftrightarrow (ab-1)^{2}+\frac{1}{2}(a-b)^{2}\geqslant 0$ (luôn đúng )
kết hợp điều trên và áp dụng bđt buniacốpski ta có :
$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant (\frac{3}{2}(a+b)^{2}+3)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}$
Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$
Lời giải.
Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}+(abc-1)^2$
Thật vậy, áp dụng bổ đề quen thuộc $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geqslant 2(ab+bc+ca)$, ta được: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)-3(a+b+c)^{2}-(abc-1)^2=(a^2+b^2+c^2+2abc+1)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-6(ab+bc+ca)+6\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-4(ab+bc+ca)+6=2\left [ (ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2 \right ]\geqslant 0$
Vậy ta có: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}+(abc-1)^2$ và bất đẳng thức cần chứng minh được giải quyết
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh