Đến nội dung

Hình ảnh

$S_n=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Với $n$ là số tự nhiên; $n\geq 3$

Đặt $S_n=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}$

Cmr: $S_n\leq \frac{1}{2}$



#2
vuvanquya1nct

vuvanquya1nct

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

Với $n$ là số tự nhiên; $n\geq 3$

Đặt $S_n=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}$

Cmr: $S_n\leq \frac{1}{2}$

Quy nap xem !! ??


:ukliam2:  


#3
Dam Uoc Mo

Dam Uoc Mo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Với $n$ là số tự nhiên; $n\geq 3$

Đặt $S_n=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}$

Cmr: $S_n\leq \frac{1}{2}$

$\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}= \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^{2}+4n+1}}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^{2}+4n}}= \frac{1}{2}.(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 08-04-2014 - 20:06

Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.

 

 

http://news.go.vn/di...m-nguoi-doi.htm


#4
Ham học toán hơn

Ham học toán hơn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

Với $n$ là số tự nhiên; $n\geq 3$

Đặt $S_n=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}$

Cmr: $S_n\leq \frac{1}{2}$

Vì $(2k+1)^2=4k^2+4k+1>4k^2+4k$ nên $2k+1>2.\sqrt{k(k+1)}$.

Do đó :

$\frac{1}{(2k+1)(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{2k+1}<\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{2\sqrt{k(k+1)}}=\frac{1}{2\sqrt{k}}-\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$

 

Cho $k=1,2,....,n$ rồi cộng vế theo vế thì ta được:

$S_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}<\frac{1}{2}$ $( Do  2\sqrt{n+1}>2>0 )$


新一工藤 - コナン江戸川

#5
huuhieuht

huuhieuht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

thế dấu bằng xảy ra khi nào nhỉ


Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)   :D  :D  :D  :like  ~O) 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh