Môn Đại số
Bài 1:
a) Chứng minh rằng :
$\det \begin{pmatrix}1 &a_1 &a_1(a_1-1) &a_1(a_1-1)(a_1-2) \\1 &a_2 &a_2(a_2-1) & a_2(a_2-1)(a_2-2)\\1& a_3 & a_3(a_3-1) &a_3(a_3-1)(a_3-2) \\1& a_4 &a_4(a_4-1) &a_4(a_4-1)(a_4-2) \end{pmatrix}=\prod_{1 \le i <j \le 4}(a_j-a_i)$
b) Giả thiết $a_1, a_2, a_3, a_4$ là các số nguyên, chứng minh $\prod_{1 \le i <j \le 4} (a_j-a_i)$ chia hết cho 12.
Bài 2: Cho các số thực phân biệt $a_1,a_2, a_3$. Chứng minh rằng với mọi bộ số thực $b_1, b_2, b_3$ tồn tại duy nhất một đa thức $P(x)$ bậc không quá 5 thỏa mãn: $P(a_i)=P'(a_i)=b_i, \; i=1,\; 2,\; 3$ , ở đây $P'$ ký hiệu đạo hàm của đa thức $P$.
Bài 3:
a) Ký hiệu $V_4$ là không gian vecto các đa thức với hệ số thực với bậc không quá 4. Định nghĩa ánh xạ $e: V_4 \rightarrow V_4$ như sau: với mỗi đa thức $f \in V_4, \; e(f)=\sum_{i=0}^4 \dfrac{f^{(i)}}{i!}$.
Chứng minh rằng $e$ là ánh xạ tuyến tính khả nghịch từ $V_4$ vào chính nó.
b) Ký hiệu $V$ là không gian vecto các đa thức hệ số thực. Với mỗi đa thức $f$, đặt $e(f)=\sum_{i=0}^{\infty} \dfrac{f^{(i)}}{i!}$. Chứng minh rằng $e$ là ánh xạ tuyến tính khả nghịch từ $V$ vào chính nó.
Bài 4:
a) Cho ma trận khối $X=\begin{pmatrix}E_m &B \\C&E_n\end{pmatrix}$ được tạo thành từ các ma trận đơn vị $E_m, E_n$ cấp $m,n$ tương ứng và các ma trận $B,C$ với kích thước $m \times n$ và $n \times m$ tương ứng.
Chứng minh rằng $\det(X)=\det(E_n-CB)=\det(E_m-BC)$.
b) Tổng quát, cho ma trận khối $X=\begin{pmatrix}A &B \\ C &D \end{pmatrix}$ , trong đó $A,D$ là các ma trận vuông, $A$ khả ngịch, chứng minh rằng $\det(X)=\det(A) \det(D-CA^{-1}B) $
Thí sinh chọn một trong hai câu của bài sau:
Bài 5:
a) Cho $P$ là một đa thức bậc $n$ với hệ số hữu tỷ. Giả sử số thực $a$ là nghiệm của $P$ với bội $> \frac{n}{2}$. Chứng minh rằng $a$ là một số hữu tỷ.
b) Trên hình vuông $ABCD$ ta định nghĩa đường đi giữa hai đỉnh $X, Y$ (không nhất thiết phân biệt) là một dãy các đỉnh kề nhau $XX_1X_2... X_{n-1}Y$ : như vậy $X_0=X, .X_1,..., X_{n-1}, X_n=Y$ là các đỉnh của hình vuông và $X_iX_{i+1}$ là cạnh của hình vuông, số $n$ được gọi là độ dài của đường đi. Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $x_n, y_n, z_n$ tương ứng là số các đường đi độ dài $n$ giữa: một đỉnh và chính nó, một đỉnh và một đỉnh cố định kề nó, một đỉnh và đỉnh đối diện ( đỉnh đối xứng qua tâm).
Ví dụ $x_0=1, y_0=0, z_0=0, x_1=0, y_1=1, z_1=0, x_2=2, y_2=0, z_2=2 $.
1) Thiết lập công thức truy hồi cho $x_n,y_n,z_n$.
2) Tìm công thức tổng quát của $x_n,y_n,z_n$.
