Chủ đề này có 3 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Giải hệ phương trình:

1. $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}-xy^{2}=1\\ 4x^{4}+y^{4}=4x+y \end{matrix}\right.$

2.$\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{y^{2}+2y+1}+\frac{y^{2}}{x^{2}+2x+1}=\frac{1}{2}\\ 3xy-x-y=1 \end{matrix}\right.$

[Trang Luong]

Giải hệ phương trình:

1. $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}-xy^{2}=1\\ 4x^{4}+y^{4}=4x+y \end{matrix}\right.$

2.$\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{y^{2}+2y+1}+\frac{y^{2}}{x^{2}+2x+1}=\frac{1}{2}\\ 3xy-x-y=1 \end{matrix}\right.$

1) Ta có :

Từ $HPT\Leftrightarrow 4x^4+y^4=(4x+y)\left ( x^3+y^3-xy^2 \right )=4x^3+y^3+xy\left ( x^2+4y^2-4xy-y^2 \right )\Rightarrow 0=xy\left ( x^2+3y^2-4xy \right )$

[Viet Hoang 99]

Giải hệ phương trình:

 

2.$\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{y^{2}+2y+1}+\frac{y^{2}}{x^{2}+2x+1}=\frac{1}{2}\\ 3xy-x-y=1 \end{matrix}\right.$

Trong chuyên đề phương trình vô tỉ - hệ phương trình của mình có đó (Link ở chữ kí )

Cách 1:
$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(\frac{x}{y+1})^2+(\frac{y}{x+1})^2=\frac{1}{2} & & \\ \frac{x}{y+1}=\frac{1}{3y-1} & & \\ \frac{y}{x+1}=\frac{1}{3x-1} \end{matrix}\right.$ (Tích chéo là rõ)
Đặt $3x-1=a$; $3y-1=b$ ta có:
$\left\{\begin{matrix}x=\frac{a+1}{3} & & \\ y=\frac{b+1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Thay vào Pt (2) có: $ab=4$
Rút $a$ theo $b$ thế vào pt (1)

 

Cách 2:

 

từ pt (2) => $x= \frac{y+1}{3y-1}$ thế vào pt (1) rồi tìm y.

trước khi thế ta biến đổi pt (1) = $\left ( \frac{x}{y+1} \right )^{2}+\left ( \frac{y}{x+1} \right )^{2}=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 10-04-2014 - 21:46

[caovannct]

Giải hệ phương trình:

1. $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}-xy^{2}=1\\ 4x^{4}+y^{4}=4x+y \end{matrix}\right.$

2.$\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{y^{2}+2y+1}+\frac{y^{2}}{x^{2}+2x+1}=\frac{1}{2}\\ 3xy-x-y=1 \end{matrix}\right.$

1. Từ pt thứ nhất ta có $(\frac{x}{y+1})^2+(\frac{y}{x+1})^2\geq \frac{1}{2}(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1})^2=\frac{1}{2}(\frac{x^2+x+y^2+y}{(x+1)(y+1)})^2\geq \frac{1}{2}\frac{4x(x+1)y(y+1)}{(x+1)^2(y+1)^2}=\frac{2xy}{(x+1)(y+1)}$

mà từ pt thứ 2 ta thu đc (x+1)(y+1)=4xy

Kết hợp 2 đánh giá trên ta có VT(1)>=1/2 . Dấu "=" xảy ra khi $\frac{x}{y+1}=\frac{y}{x+1}$