Mở rộng 1(MSS 52):
Phương trình dạng: $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$ ($a,b,c,d$ là các số thực)
Với những PT mà ở căn thức có thể phân tích thành 2 biểu thức $A_{(x)}$,$B_{x}$ thì ta đi tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:
$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$
Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$
$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$
Đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$: $a=\alpha m+\beta m';b=\alpha n+\beta n';c=\alpha p+\beta p'$
PT ban đầu trở thành :
$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$
Việc còn lại là GPT trên.
Xét:
§ $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.
§ $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành
$\alpha.\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}-d\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}+\beta=0$
Đặt $\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}=t$ ($t\geq 0$)
PT$\Leftrightarrow \alpha.t^{2}-dt+\beta=0$
Giải PT tìm $t,x$
Mở rộng 2:
Phương trình dạng: $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{m.A^{2}_{(x)}+n.B^{2}_{(x)}}$
Ta cũng tiếp tục tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:
$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$
Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$
$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$
Đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$: $a=\alpha m+\beta m';b=\alpha n+\beta n';c=\alpha p+\beta p'$
PT ban đầu trở thành :
$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{m.A^{2}_{(x)}+n.B^{2}_{(x)}}$
Bình phương 2 vế của PT:
$(\alpha ^{2}-d^{2}m).A_{(x)}^{2}+2\alpha \beta. A_{(x)}.B_{(x)}+(\beta ^{2}-d^{2}n)B^{2}_{(x)}=0$
Xét:
§ $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.
§ $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành
$(\alpha ^{2}-d^{2}m).(\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}})^{2}+2\alpha \beta. \frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}+(\beta ^{2}-d^{2}n)=0$
Đặt $\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}=t$ ($t$ thuộc R)
PT$\Leftrightarrow (\alpha ^{2}-d^{2}m)t^{2}+2\alpha \beta.t+(\beta ^{2}-d^{2}n)=0$
Giải PT tìm $t,x$.