Cho $x, y, z$ là số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
$P = \frac{4}{\sqrt{x^2y^2+z^2+4}} - \frac{9}{(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}}$
MOD: Nghi vấn đề bài
Theo mình thì 90% thì đề bài sai và đề đúng là: Cho $x, y, z$ là số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: $P = \frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}} - \frac{9}{(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}}$, chắc bạn gõ thiếu dấu $+$, nếu đề là vậy thì mình sẽ giải như sau:
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$, ta được: $2(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}\leqslant (x+y)(x+y+4z)= (x+y)^2+4z(x+y)\leqslant (x+y)^2+4z^2+(x+y)^2\leqslant 4(x^2+y^2+z^2)$
Lúc này, ta có: $P \leqslant \frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}} - \frac{9}{2(x^2+y^2+z^2)}$
Đặt $\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}=t$ thì $P=\frac{4}{t}-\frac{9}{2(t^2-4)}$
Mà $t\geqslant 2$ nên $\frac{4}{t}-\frac{9}{2(t^{2}-4)}-\frac{5}{8}=\frac{(t-4)^2(-10t-16)}{16t(t^2-4)}\leqslant 0\Rightarrow \frac{4}{t}-\frac{9}{2(t^{2}-4)}\leqslant \frac{5}{8}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-05-2021 - 18:08
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$