Đến nội dung

Hình ảnh

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.$\left | AC-BD \right |\leq \left | AB-CD \right |$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ILoveMathverymuch

ILoveMathverymuch

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.CMR

$\left | AC-BD \right |\leq \left | AB-CD \right |$

 

p/s:Các bạn nào có bài hình ngắn ngắn mà hay post lên cùng thảo luận nhé


        >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)

                                                               
               Hoàng Sa-Trường Sa là của Việt Nam

 

         :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 

 

                                                                                                                                                                                                            

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                     

       


#2
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.CMR

$\left | AC-BD \right |\leq \left | AB-CD \right |$

 

p/s:Các bạn nào có bài hình ngắn ngắn mà hay post lên cùng thảo luận nhé

 

Sử dụng định lí $Ptolemy$ ta có

$AC^{2}-2AC.BD+BD^{2}\leq AB^{2}-2AB.CD+CD^{2}$

$\Leftrightarrow AC^{2}+BD^{2}+(AD-BC)^{2}\leq AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$

 

Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD$

 

Ta có

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )$ 

 

Do đó

$MN=\left | \overrightarrow{MN} \right |=\frac{1}{2} \left | \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right | \geq \frac{1}{2}\left | AD-BC \right |$   $(1)$

 

Ta lại có

$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=2BM^{2}+2DM^{2}+AC^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4MN^{2}$    $(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra

$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}\geq AC^{2}+BD^{2}+(AD-BC)^{2}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh