Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.CMR
$\left | AC-BD \right |\leq \left | AB-CD \right |$
p/s:Các bạn nào có bài hình ngắn ngắn mà hay post lên cùng thảo luận nhé
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.CMR
$\left | AC-BD \right |\leq \left | AB-CD \right |$
p/s:Các bạn nào có bài hình ngắn ngắn mà hay post lên cùng thảo luận nhé
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.CMR
$\left | AC-BD \right |\leq \left | AB-CD \right |$
p/s:Các bạn nào có bài hình ngắn ngắn mà hay post lên cùng thảo luận nhé
Sử dụng định lí $Ptolemy$ ta có
$AC^{2}-2AC.BD+BD^{2}\leq AB^{2}-2AB.CD+CD^{2}$
$\Leftrightarrow AC^{2}+BD^{2}+(AD-BC)^{2}\leq AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$
Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD$
Ta có
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )$
Do đó
$MN=\left | \overrightarrow{MN} \right |=\frac{1}{2} \left | \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right | \geq \frac{1}{2}\left | AD-BC \right |$ $(1)$
Ta lại có
$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=2BM^{2}+2DM^{2}+AC^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4MN^{2}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra
$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}\geq AC^{2}+BD^{2}+(AD-BC)^{2}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh