SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2013- 2014
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 15/3/2014
(Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (6,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: $M=\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\sqrt{1+\frac{1}{4}(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^{2}}$
b) Giải phương trình: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{5}{3}(\frac{x}{3}-\frac{1}{x})$
c) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & \end{matrix}\right.$
Câu 2 (3,0 điểm):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 2 và parabol (P) có phương trình $y=\frac{-x^{2}}{4}$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm các giá trị của m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Câu 3 (2,0 điểm):
Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn:0<a;b;c<2
Chứng minh rằng: $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geqslant \frac{9}{4}$
Câu 4 (6,0 điểm):
Cho đường tròn tâm O có đường kính MN, dây cung AB vuông góc với MN tại điểm I nằm giữa O, N. Gọi K là một điểm thuộc dây AB nằm giữa A, I. Các tia MK, NK cắt đường tròn tâm O theo thứ tự tại C, D. Gọi E, F, H lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng AD, AB, BD. Chứng minh rằng
a) AC.HF = AD.CF
b) F là trung điểm EH
c) Hai đường thẳng DC và DI đối xứng với nhau qua đường thẳng DN
Câu 5 (3,0 điểm):
Cho n và k là các số tự nhiên, $A=n^4+4^{2k+1}$
a) Tìm k, n để A là số nguyên tố
b) Chứng minh rằng:
+ Nếu n không chia hết cho 5 thì A chia hết cho 5
+ Với p là ước nguyên tố lẻ của A ta luôn có p -1 chia hết cho 4
----------------------------- HẾT -----------------------------
)
