Bài 12: (Chuyên Quang Trung, Bình Phước)
Cho $a,b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$Q=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2}\left ( \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca} \right )$
chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=1$
đặt $u=ab+bc+ca$ ta có $\left ( \sum a \right )^2=1+2u,\frac{\sum a^3}{abc}=3+\left ( \sum \frac{1}{ab} \right )\left ( 1-u \right )\geq 3+\frac{9(1-u)}{u}$
do đó $Q=1+2u+\frac{1}{2}\left ( 3+\frac{9(1-u)}{u}-\frac{1}{u} \right )=2\left (u+\frac{1}{u} \right )+\frac{2}{u}-2\geq 4$
U-Th