Chủ đề này có 42 trả lời

[nhungvienkimcuong]

Bài 12: (Chuyên Quang Trung, Bình Phước)

  Cho $a,b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 $Q=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2}\left ( \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca} \right )$

chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=1$

đặt $u=ab+bc+ca$ ta có $\left ( \sum a \right )^2=1+2u,\frac{\sum a^3}{abc}=3+\left ( \sum \frac{1}{ab} \right )\left ( 1-u \right )\geq 3+\frac{9(1-u)}{u}$

do đó $Q=1+2u+\frac{1}{2}\left ( 3+\frac{9(1-u)}{u}-\frac{1}{u} \right )=2\left (u+\frac{1}{u} \right )+\frac{2}{u}-2\geq 4$

 

U-Th

[nhungvienkimcuong]

bài 13:(Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai)

Cho $s,t,u,v\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$ thỏa $s+t+u+v=\pi$

CMR $\frac{\sqrt{2}sins-1}{coss}+\frac{\sqrt{2}sint-1}{cost}+\frac{\sqrt{2}sinu-1}{cosu}+\frac{\sqrt{2}sinv-1}{cosv}\geq 0$

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-02-2015 - 18:21

[Gachdptrai12]

Đặt $$C=\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}$$
và $$D=a(7a^2+b^2+c^2)+b(a^2+7b^2+c^2)+c(a^2+b^2+7c^2)$$
Áp dụng bất đẳng thức $holder$ , ta có :
$$C^2.D \geq (a+b+c)^3$$
Nên ta cần chứng minh $(a+b+c)^3 \geq D$
Ta có : $$D=7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3 \geq 7(a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^3}{3}-3 \geq (a+b+c)^3$$