Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$ thỏa mãn: $n< a_{i}-a_{j}< 2n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
BysLyl

BysLyl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:

$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$  thỏa mãn:  $n< a_{i}-a_{j}< 2n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 17-04-2014 - 20:43

_Be your self- Live your life_  :rolleyes: 


#2
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
 

Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:

$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$  thỏa mãn:  $n< a_{i}-a_{j}< 2n$

 

Ta giả sử rằng : $a_{n+2}=3n$

Nếu tồn tại số $a_i$ thỏa mãn : $n< a_i\leq 2n\Rightarrow n< a_{n+2}-a_i< 2n$,

Nếu không tồn tại số  $a_i$ thỏa mãn : $n< a_i\leq 2n$

Thì 2 số $a_i,a_j$ sẽ thuộc 1 trong những dãy các cặp số sau : $(1,2n),(2,2n+1),(3,2n+2),...,(n,3n-1)$ thỏa mãn được đề bài


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 17-04-2014 - 20:43

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#3
stronger steps 99

stronger steps 99

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:

$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$  thỏa mãn:  $n< a_{i}-a_{j}< 2n$

Xét 3 tập hợp:A{1,2,...,n} ; B{n+1,n+2,...,2n} ;C{2n+1,2n+2,...,3n}

Đặt k=3n-$a_{n+2}$ $(0\leq k\leq 2n-2)(do   a_{n+2}\geq n+2)$

Xét dãy (*) sau:$b_{1}=k+a_{1},b_{2}=k+a_{2},...,b_{n+2}=k+a_{n+2}$

$\rightarrow b_{n+2}=3n$

  ~O) Nếu tồn tại trong dãy (*) 1 số $b_{i}$ mà $n\leq b_{i}\leq 2n$

$\rightarrow n\leq k+a_{i}\leq 2n\rightarrow n\leq 3n-a_{n+2}+a_{i}\leq 2n\rightarrow 2n\geq a_{n+2}-a_{i}\geq n$(đpcm)

  ~O) Nếu không tồn tại trong dãy (*) 1 số $b_{i}$ mà $n\leq b_{i}\leq 2n$

Xét các cặp số sau : (1,2n);(2,2n+1);...(n,3n-1) có hiệu của mỗi cặp là 2n-1

Do tập A và C không có quá n phần tử nên có không quá n số $b_{i}$$\epsilon$ tập A và có không quá n số $b_{j}$$\epsilon$ tập C mà trong dãy (*) có n+1 số (trừ $b_{n+2}=3n$) nên tồn tại ít nhất 1 cặp như trên.

Từ đó suy ra đpcm :icon6:


  :like Do not worry about your difficulties in Mathematics. I can assure you mine are still greater. :like

                                               :nav: Ghé Thăm My Facebook tại đây.  :nav:

 


#4
ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết

Mình giải như sau

Ta giả sử rằng : an+2=3nan+2=3n

Nếu tồn tại số aiai thỏa mãn : n<ai2nn<an+2ai<2nn<ai≤2n⇒n<an+2−ai<2n,

Nếu không tồn tại số  aiai thỏa mãn : n<ai2nn<ai≤2n

Thì 2 số ai,ajai,aj sẽ thuộc 1 trong những dãy các cặp số sau : (1,2n),(2,2n+1),(3,2n+2),...,(n,3n1)(1,2n),(2,2n+1),(3,2n+2),...,(n,3n−1) thỏa mãn được đề bà


~O)  ~O)  ~O)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh