Chủ đề này có 4 trả lời

[dqxmath]

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. CM:$ abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geqslant 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 14-04-2014 - 22:24

[Near Ryuzaki]

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1. CM: abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geqslant 0$

Từ giả thiết suy ra $a,b,c \in [0;1]$

Từ đó ta có : $(1-a)(1-b)(1-c) \geq 0$

Khai triển ra, ta được đpcm!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 14-04-2014 - 22:24

[Nguyen Huy Hoang]

Từ giả thiết suy ra $a,b,c \in [0;1]$

Từ đó ta có : $(1-a)(1-b)(1-c) \geq 0$

Khai triển ra, ta được đpcm!!!!

Mình khai triển ra được: $abc+ab+bc+ac-(a+b+c)+1\geq 0$ , đâu có được đpcm, bạn nói rõ hơn được k? 

[Near Ryuzaki]

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. CM:$ abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geqslant 0$

Xem tại đây!!!!

[KietLW9]

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. CM:$ abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geqslant 0$

Ta có: $a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow -1\leqslant a,b,c\leqslant 1\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geqslant 0\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\geqslant 0$ (1)

Mặt khác, ta luôn có: $(a+b+c+1)^2\geqslant 0\Leftrightarrow (a+b+c)^2+2(a+b+c)+1\geqslant 0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+1\geqslant 0\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c+1\geqslant 0$ (2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $abc+2(ab+bc+ca+a+b+c+1)\geqslant 0(Q.E.D)$