Chủ đề này có 5 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho các số thực x, y, z thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$. Chứng minh rằng:

$2(x+y+z)-xyz\leq 10$

[lahantaithe99]

Cho các số thực x, y, z thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$. Chứng minh rằng:

$2(x+y+z)-xyz\leq 10$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

 

$\left [2(x+y)+z(2-xy) \right ]^2\leqslant \left [ (x+y)^2+z^2 \right ](4+(2-xy)^2)$

 

$=(9+2xy)(8+x^2y^2-4xy)$

 

Ta sẽ đi cm $(9+2t)(8+t^2-4t)\leqslant 100$

 

$(t+2)^2(2t-7)\leqslant 0$ (với $t=xy$) $(*)$

 

Đến đây giả sử $|x|\leqslant |y|\leqslant |z|\Rightarrow x^2\leqslant y^2\leqslant z^2\Rightarrow x^2+y^2\leqslant 6$

 

Mà $xy\leqslant \frac{x^2+y^2}{2}\leqslant 3$

 

Do đó $*$ đúng suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 15-04-2014 - 22:40

[Trang Luong]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

 

$\left [2(x+y)+z(2-xy) \right ]^2\leqslant \left [ (x+y)^2+z^2 \right ](4+(2-xy)^2)$

 

$=(9+2xy)(8+x^2y^2-4xy)$

 

Ta sẽ đi cm $(9+2t)(8+t^2-4t)\leqslant 100$

 

$(t+2)^2(2t-7)\leqslant 0$ (với $t=xy$) $(*)$

 

Đến đây giả sử $|x|\leqslant |y|\leqslant |z|\Rightarrow x^2\leqslant y^2\leqslant z^2\Rightarrow x^2+y^2\leqslant 6$

 

Mà $xy\leqslant \frac{x^2+y^2}{2}\leqslant 3$

 

Do đó $*$ đúng suy ra đpcm

Chỗ này có nhầm lẫn. Thay vào thì $(9+2t)(8+t^2-4t)= 75$

[lahantaithe99]

Chỗ này có nhầm lẫn. Thay vào thì $(9+2t)(8+t^2-4t)= 75$

Đâu có thay vào chỗ ấy, thay vào chỗ $(t+2)^2(2t-7)$

Với $t\leqslant 3$ thì BĐT trên luôn đúng

[Trang Luong]

Đâu có thay vào chỗ ấy, thay vào chỗ $(t+2)^2(2t-7)$

Với $t\leqslant 3$ thì BĐT trên luôn đúng

Thay vào làm gì có xuất hiện dấu bằng.

Dấu = xảy ra khi $x=y=2,z=-1$ mới đúng

[lahantaithe99]

Thay vào làm gì có xuất hiện dấu bằng.

Dấu = xảy ra khi $x=y=2,z=-1$ mới đúng

Mình có thể nói rõ hơn phần này như sau

$\left\{\begin{matrix} t\leqslant 3<3,5 & \\ (t+2)^2\geqslant 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow (t+2)^2(2t-7)\leqslant 0$

Dấu $=$ xảy ra như trên