Chủ đề này có 1 trả lời

[ILoveMathverymuch]

Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của pt:

$cos\pi (x^{2}+2x-\frac{1}{2})=sin\pi x^{2}$

[E. Galois]

Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của pt:

$cos\pi (x^{2}+2x-\frac{1}{2})=sin\pi x^{2}$

Ta có:

$$PT \Leftrightarrow \pi x^2 +2\pi x - \frac{\pi}{2} = \pm \left ( \frac{\pi}{2}-\pi x^2 \right )+2k\pi, k \in \mathbb{Z}$$

TH1:

$$\pi x^2 +2\pi x - \frac{\pi}{2} = \left ( \frac{\pi}{2}-\pi x^2 \right )+2k\pi \Leftrightarrow 2x^2+2x-1-2k=0$$

Dễ thấy phương trình này không có nghiệm nguyên với mọi $k$.

TH2:

$$\pi x^2 +2\pi x - \frac{\pi}{2} = -\left ( \frac{\pi}{2}-\pi x^2 \right )+2k\pi \Leftrightarrow x=k$$

Chọn $k=1$ ta có $x=1$ là nghiệm nguyên dương bé nhất của pt đã cho