Chủ đề này có 2 trả lời

[davidsilva98]

Cho $x;y;z\in R$ thỏa $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=16\\ y^{2}+yz+z^{2}=3 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh $xy+yz+zx\leq 8$

[Kaito Kuroba]

Cho $x;y;z\in R$ thỏa $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=16\\ y^{2}+yz+z^{2}=3 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh $xy+yz+zx\leq 8$

 

ta có:

$16(x^2+xy+y^2)+3(y^2+yz+z^2) =16(y+\frac{x}{2})^2+\frac{9z^2}{4}+3(y+\frac{z}{2})+12x^2 =(4y+2x-\frac{3z}{2})^2+3(y+\frac{z}{2}-2x)^2+12(xy+yz+xz)\geq 12(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+zx\leq 8 (DPCM)$

[KietLW9]

Cho $x;y;z\in R$ thỏa $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=16\\ y^{2}+yz+z^{2}=3 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh $xy+yz+zx\leq 8$

Lời giải. 

Đầu tiên ta xét: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2\geqslant 0\forall a,b,c,d\in\mathbb{R}$ suy ra $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geqslant (ac+bd)^2$

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được: $48=(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)=\left [ (y+\frac{x}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}x}{2})^2 \right ]\left [ (\frac{\sqrt{3}z}{2})^2+(y+\frac{z}{2})^2 \right ]\geqslant \left [ (y+\frac{x}{2}).\frac{\sqrt{3}z}{2} +\frac{\sqrt{3}x}{2}.(y+\frac{z}{2})\right ]^2=\left [ \frac{\sqrt{3}}{2}(xy+yz+zx) \right ]^2$

$\Rightarrow xy+yz+zx\leqslant 8 (\text{Q.E.D})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-05-2021 - 17:32