Chủ đề này có 6 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh:

$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 18-04-2014 - 21:09

[firetiger05]

VT$\geq\sum \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}=\sum \frac{2}{a}=\sum 2bc$( do abc = 1 )

Ta cần chứng minh : $\sum 2bc\geq \sum \sqrt{a}+3$

Ta có : $\sum bc \geq 3$ ( cô si )

           $\sum bc\geq \sum c\sqrt{ab}$( BĐT phụ $\sum x^{2}\geq \sum xy$) = $\sum \sqrt{b}$

Cộng vế -> đpcm

P/s: Làm hơi khó nhìn . Vui quá.

[lahantaithe99]

Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh:

$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

 

Áp dụng BĐT $AN-GM$ ta có

 

$\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\geqslant 2\sqrt{b};\frac{c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\geqslant 2\sqrt{c};...$

 

Tương tự với các phân thức còn lại và rút gọn thu được

 

$\sum \frac{b+c}{\sqrt{a}}\geqslant 2\sum \sqrt{a}\geqslant \sum \sqrt{a}+3\sqrt[6]{abc}=\sum \sqrt{a}+3$

[Trang Luong]

Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh:

$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

 

Đặt $\left ( \sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c} \right )=\left ( x,y,z \right )$

Ta có BĐT $\sum \frac{x^2+y^2}{z}\geq x+y+z+3\Leftrightarrow x^3y+y^3x+x^3z+z^3x+z^3y+y^3z\geq x+y+z+3$

Ta thấy :$x^3y+y^3x+x^3z+z^3x+z^3y+y^3z\geq 2\left ( x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \right )$

mà $\left ( xy+yz+xz \right )^2\leq \left ( xy+yz+xz \right )\left ( x^2+y^2+z^2 \right )=x^3y+y^3x+x^3z+z^3x+z^3y+y^3z+x^2yz+y^zxz+z^2xy\leq x^3y+y^3x+x^3z+z^3x+z^3y+y^3z+\frac{1}{2}\left ( 2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2 \right )\leq \frac{3}{2}\left ( x^3y+y^3x+x^3z+z^3x+z^3y+y^3z \right )$

Ta dễ dàng cm được : $\frac{2}{3}\left ( xy+yz+xz \right )^2=\frac{2}{3}\left [x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xzy(z+x+y) \right ]=\left ( x+y+z \right )+\frac{2}{3}\left ( x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \right )+\frac{1}{3}\left ( x+y+z \right )\geq 3+x+y+z$

Vậy $x^3y+y^3x+x^3z+z^3x+z^3y+y^3z\geq 2\left ( x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \right )\Rightarrow \sum \frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sum \sqrt{a}+3$ 

[Super Fields]

Áp dụng BĐT $AN-GM$ ta có

 

$\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\geqslant 2\sqrt{b};\frac{c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\geqslant 2\sqrt{c};...$

 

Tương tự với các phân thức còn lại và rút gọn thu được

 

$\sum \frac{b+c}{\sqrt{a}}\geqslant 2\sum \sqrt{a}\geqslant \sum \sqrt{a}+3\sqrt[6]{abc}=\sum \sqrt{a}+3$

Sao lại được phần này?

[lahantaithe99]

Sao lại được phần này?

Thì cứ $AM-GM$ lần lượt từng phân thức trong vế trái rồi rút gọn là thu được cái đó

[yeutoan2604]

Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh:

$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

$VT=\sqrt{bc}(b+c)+\sqrt{ca}(c+a)+\sqrt{ab}(a+b)\geq 2(ab+bc+ca)\geq 2(b\sqrt{ac}+a\sqrt{bc}+c\sqrt{ab})$ (1)

Lại có $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\Leftrightarrow (2-1)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3\Leftrightarrow (2\sqrt{abc}-1)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3\Leftrightarrow 2(a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab})\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$