Chủ đề này có 1 trả lời

[yeumontoan]

viết phương trình đường thẳng d qua M(1;3) sao cho hình phẳng được giới hạn bởi đthẳng d và (P): y = x^2 có diện tích bé nhất.

[E. Galois]

Dễ thấy đường thẳng đi qua $M$ và không có hệ số góc thì sẽ không tạo với $(P)$ một hình phẳng kín. Do đó, nó không phải là đường cần tìm.

 

Giả sử đường thẳng cần tìm có hệ số góc $k$. Khi đó, $(d)$ có phương trình: $y=kx-k+3$. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$.

\begin{equation} x^2 - kx + k -3 = 0 \label{eq:pt1} \end{equation}

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(d)$ và (P)$ là:

\begin{align*}S=f(k)&=\int_{x_1}^{x_2}\left | x^2-kx+k-3 \right |dx \\ & =\left | \int_{x_1}^{x_2}(x^2-kx+k-3) dx\right | \\ & = \left | \left [ \frac{x^3}{3}-\frac{kx^2}{2}+(k-3)x \right ]\left | \begin{matrix}x_2\\x_1 \end{matrix}\right. \right | \\ & = \left | (x_2-x_1)\left ( \frac{x_1^2+x_1x_2+x_2^2}{3}-\frac{k(x_1+x_2)}{2} +k-3\right ) \right |\end{align*}

Từ đó, ta có:

$$S^2 = (x_2-x_1)^2\left ( \frac{x_1^2+x_1x_2+x_2^2}{3}-\frac{k(x_1+x_2)}{2} +k-3\right )^2 = \frac{1}{36}(k^2-4k+12)^3$$

Do đó:

$$\min S = f(2) = \frac{8\sqrt{2}{3}$$

Vậy phương trình cần tìm là: $y=2x+1$.