Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$



#2
Truong Gia Bao

Truong Gia Bao

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 511 Bài viết

Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

Gọi $x_1$ là nghiệm bất kì của phương trình thứ nhất; $x_2$ là nghiệm bất kì của phương trình thứ 2 $\Rightarrow x_1x_2$ là nghiệm của phương trình thứ 3.

Nhận thấy $x=0$ đều không phải là nghiệm của 3 phương trình.

Có:

$\left\{\begin{matrix} x_1^2+ax_1+1=0 & \\ x_2^2+bx_2+1=0& \\ (x_1x_2)^2+c(x_1x_2)+1=0& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-x_1 -\frac{1}{x_1}& \\ b=-x_2 -\frac{1}{x_2}& \\ c=-x_1x_2 -\frac{1}{x_1x_2}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}+4& \\ ab+c=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} & \end{matrix}\right.$

Do đó: $a^2+b^2+c^2+abc=(a^2+b^2)+c(ab+c)=\left ( x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+4 \right )-(x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2})(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1})=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+4 -x_1^2-x_2^2-\frac{1}{x_2^2}-\frac{1}{x_1^2}=4 \square$


"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh