Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi olympic Duyên Hải Bắc Bộ năm 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 ongngua97

ongngua97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:volleyball.

Đã gửi 20-04-2014 - 16:59

mo.png

Môn Toán lớp 10.

Câu 1. Giải phương trình:

$$(6x-3)\sqrt{7-3x}+(15-6x)\sqrt{3x-2}=2\sqrt{-9x^{2}+27x-14}+11.$$

Câu 2. Cho tam giác $ABC (BC<AC)$. Gọi $M$ là trung điểm $AB, AP$ vuông góc với $BC$ tại $P, BQ$ vuông góc với $AC$ tại $Q$. Giả sử đường thẳng $PQ$ cắt $AB$ tại $T$. Chứng minh $TH$ vuông góc $CM$. ($H$ là trực tâm tam giác $ABC$).

Câu 3. Cho hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ là tập số thực) thỏa mãn:

$$f(f(x))=x^{3}+\frac{3}{4}x, \forall x\in \mathbb{R}$$

Chứng minh tồn tại 3 số thực phân biệt $a,b,c$ sao cho $f(a)+f(b)+f(c)=0$.

Câu 4. Tìm $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$, ta có:

$$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq k(ab+bc+ca)^{3}$$

Câu 5. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$.

 
Môn toán 11
Câu 1: Giải hệ phương trình:
$$\left \{ \begin{matrix}2x-2y+\sqrt{x+y+3xy+1}=1\\ \sqrt[3]{3y+1}=8x^2-2y-1\\ x>0\end{matrix}\right.$$
 
Câu 2: Cho dãy $\left ( a_n \right )_{n=1}^{\infty }$ xác định như sau:
$$a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n^3-a_n+10}{5-a_n}, \forall n \geq 1$$
1. Chứng minh dãy hội tụ và tính giới hạn
2. Chứng minh : $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}< \frac{5-\sqrt{5}}{2}$ với mọi $n\geq 1$
 
Câu 3: Gọi $AD,BE,CF$ là  đường phân giác trong của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Đoạn thẳng $AD$ cắt $EF$ tại $K$. Đường thẳng qua $K$  song song với $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng:
$$MN\geq \frac{2-\sqrt{2}}{2}(AB+AC)$$
 
Câu 4: Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$$f(x^2+y^2)=xf(x)+yf(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$$
 
Câu 5: Cho $100$ số tự nhiên không lớn hơn $100$ có tổng bằng $200$. Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng $100$.

 

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-04-2014 - 19:45

ONG NGỰA 97. :wub: 


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 25-04-2014 - 00:04

 

 Câu 2: Cho dãy $\left ( a_n \right )_{n=1}^{\infty }$ xác định như sau:
$$a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n^2-5a_n+10}{5-a_n}, \forall n \geq 1$$
1. Chứng minh dãy hội tụ và tính giới hạn
2. Chứng minh : $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}< \frac{5-\sqrt{5}}{2}$ với mọi $n\geq 1$
 

 

 

Hình như đề phải như thế này mới đúng !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 25-04-2014 - 00:15

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 shinichigl

shinichigl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 30-04-2014 - 15:54

 

 
Câu 5: Cho $100$ số tự nhiên không lớn hơn $100$ có tổng bằng $200$. Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng $100$.

 

 

 

 

 

 

Gọi $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{100}$ là các số tự nhiên thoã đề bài

TH1: có một số là 100, ta có được điều phải chứng minh

TH2: không có số nào là 100,

Không mất tính tổng quát ta xét các tổng sau

$S_{1}=a_{1}$;

$S_{2}=a_{1}+a_{2}$;

$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}$;

...

$S_{100}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{100}$;

Có 100 tổng $S_{i}$ $(1\leq i\leq 100)$, mà $S_{i}$ chia 100 dư từ 1 đến 99, nên theo nguyên lí dirichlet tồn tại ít nhất 2 tổng $S_{i}$ có cùng số dư, lấy hiệu của chúng ta chứng minh được tồn tại ít nhất 1 bộ các số chia hết cho 100

Mặt khác: hiệu của hai tổng $S_{i}$ trên luôn nhỏ hơn 200 mà lại chia hết cho 100 nên suy ra chúng bằng 100

Vậy ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 30-04-2014 - 15:57


#4 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 01-05-2014 - 07:29

Câu 4:Thay x=y=0 ta được $f(0)=0$ 

Thay x=0 ta được $f(x^{2})=xf(x)$

Thay y=0 ta được $f(y^{2})=yf(y)$

Do đó :$f(x^{2}+y^{2})=f(x^{2})+f(y^{2}) hay  f(x+y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y\geq 0$

Thay x=-y ta được $f(y)+f(-y)=0\Rightarrow$ hàm f là hàm lẻ

Ta cũng có $f(x-y)=f(x)-f(y)$

$\Rightarrow f$ cộng tính trên R:$f(kx)=kf(x)$

$f((x+1)^{2}-(x-1)^{2})=(x+1)f(x+1)-(x-1)f(x-1)=(x+1)(f(x)+f(1))-(x-1)(f(x)-f(1))=2f(x)+2xf(1)$

$\Leftrightarrow f(x)=kf(x)$ (k tuỳ ý ;x thực)



#5 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 01-05-2014 - 08:30

Câu hình học lớp 10 là 1 ý nhỏ trong TST VN 2013

Dùng hệ thức Maclaurin có TB.TC=TK.TM

Lại có TB.TC=TP.TQ (vì PQCB nội tiếp) nên TP.TQ=TK.TM

$\Rightarrow$ T có cùng phương tích tới 2 đường tròn đường kính CH và MH

mà H cũng có cùng phương tích tới 2 đường tròn này( $P(H)=0$)nên

TH là trục đẳng phương của 2 đường tròn này

Gọi U,V là trung điểm của CH và MH

$\Rightarrow$ TH vuông UV mà UV song song với CM nên CM vuông TH (đpcm)



#6 anhminhkhon

anhminhkhon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội
  • Sở thích:games

Đã gửi 18-05-2014 - 21:38

mình xin giải câu 3 lớp 10:

Xét hàm f:$f(f(x))=x^{3}+\frac{3}{4}x$

Xét x=0 ta có $f(f(0))=0$

Chọn x=f(0) ta có $f(0)=(f(0))^{3}+\frac{3}{4}f(0)\Leftrightarrow$ f(0)=0 hoặc f(0)=1/2 hoặc f(0)=-1/2

Tiếp tục chọn x=1/2 và x=f(1/2) ta lại có f(1/2)=0 hoặc f(1/2)= 1/2 bằng f(1/2)=-1/2

chọn x=-1/2 và x=f(-1/2) ta lại có f(-1/2)=0 hoặc f(-1/2)= 1/2 bằng f(-1/2)=-1/2

Xét nếu f(0)=0 thì nếu f(1/2)=0 suy ra f(f(1/2))=1/2 suy ra f(0)=1/2 suy ra vô lí

lí luận tương tự ta có f(0) và f(1/2) và f(-1/2) sẽ nhận các giá trị khác nhau là 0; 1/2; -1/2

Vậy tồn tại ba số f(a), f(b), f(c) sao cho thỏa mãn đề bài



#7 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 28-05-2014 - 09:08

 

mo.png

Môn Toán lớp 10.

Câu 1. Giải phương trình:

$$(6x-3)\sqrt{7-3x}+(15-6x)\sqrt{3x-2}=2\sqrt{-9x^{2}+27x-14}+11.$$

Câu 2. Cho tam giác $ABC (BC<AC)$. Gọi $M$ là trung điểm $AB, AP$ vuông góc với $BC$ tại $P, BQ$ vuông góc với $AC$ tại $Q$. Giả sử đường thẳng $PQ$ cắt $AB$ tại $T$. Chứng minh $TH$ vuông góc $CM$. ($H$ là trực tâm tam giác $ABC$).

Câu 3. Cho hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ là tập số thực) thỏa mãn:

$$f(f(x))=x^{3}+\frac{3}{4}x, \forall x\in \mathbb{R}$$

Chứng minh tồn tại 3 số thực phân biệt $a,b,c$ sao cho $f(a)+f(b)+f(c)=0$.

Câu 4. Tìm $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$, ta có:

$$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq k(ab+bc+ca)^{3}$$

Câu 5. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$.

 
Môn toán 11
Câu 1: Giải hệ phương trình:
$$\left \{ \begin{matrix}2x-2y+\sqrt{x+y+3xy+1}=1\\ \sqrt[3]{3y+1}=8x^2-2y-1\\ x>0\end{matrix}\right.$$
 
Câu 2: Cho dãy $\left ( a_n \right )_{n=1}^{\infty }$ xác định như sau:
$$a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n^3-a_n+10}{5-a_n}, \forall n \geq 1$$
1. Chứng minh dãy hội tụ và tính giới hạn
2. Chứng minh : $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}< \frac{5-\sqrt{5}}{2}$ với mọi $n\geq 1$
 
Câu 3: Gọi $AD,BE,CF$ là  đường phân giác trong của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Đoạn thẳng $AD$ cắt $EF$ tại $K$. Đường thẳng qua $K$  song song với $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng:
$$MN\geq \frac{2-\sqrt{2}}{2}(AB+AC)$$
 
Câu 4: Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$$f(x^2+y^2)=xf(x)+yf(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$$
 
Câu 5: Cho $100$ số tự nhiên không lớn hơn $100$ có tổng bằng $200$. Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng $100$.

 

 

 

 

 

Bài hàm lớp 11: 

-Cho $y=0= > f(x^2)=xf(x)$

Từ đó $= > f(x^2+y^2)=f(x^2)+f(y^2)= > f(x+y)=f(x)+f(y)$

$= > f(x-y)=f(x)-f(y)$.Do đó hàm $f$ cộng tính trên $R$

Bằng quy nạp ta CM được $f(kx)=kf(x)$

Ta có:$f((x+1)^2-(x-1)^2)=f(4x)=4f(x)$(1)

            $f((x+1)^2-(x-1)^2)=f((x+1)^2)-f((x-1)^2)=(x+1)f(x+1)-(x-1)f(x-1)=(x+1)(f(x)+f(1))-(x-1)(f(x)-f(1))=2f(x)+2xf(1)$(2)

Từ (1),(2) $= > 4f(x)=2f(x)+2xf(1)= > f(x)=xf(1)= > f(x)=kx$



#8 dshung1997

dshung1997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:CBG
  • Sở thích:chả biết thích j =))

Đã gửi 17-07-2014 - 12:18

Câu hình học lớp 10 là 1 ý nhỏ trong TST VN 2013

Dùng hệ thức Maclaurin có TB.TC=TK.TM

Lại có TB.TC=TP.TQ (vì PQCB nội tiếp) nên TP.TQ=TK.TM

$\Rightarrow$ T có cùng phương tích tới 2 đường tròn đường kính CH và MH

mà H cũng có cùng phương tích tới 2 đường tròn này( $P(H)=0$)nên

TH là trục đẳng phương của 2 đường tròn này

Gọi U,V là trung điểm của CH và MH

$\Rightarrow$ TH vuông UV mà UV song song với CM nên CM vuông TH (đpcm)

 

Điểm K là điểm nào vậy bạn. Bạn viết rõ hơn được k? T,B,C có thẳng đâu mà dùng được Maclaurin

bạn giải thích rõ hộ mình nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dshung1997: 17-07-2014 - 12:19

                                  Ai tìm cho tôi công thức của số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,999999.... với
                                                                                                                                                                                                                                          :luoi:


#9 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-07-2014 - 16:30

 

mo.png

Môn Toán lớp 10.

 

Câu 5. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$.

 

Bài $5$ số học lớp 10 : 

Đặt $n=2^{k}.m$ với $m$ lẻ

$2013^n-1=(2013^{2^{k}})^m-1=(2013^{2^{k}}-1)\left [(2013^{2^{k}})^{m-1}+(2013^{2^{k}})^{m-2}+...+1 \right ]$

Vì $m$ lẻ $\left [(2013^{2^{k}})^{m-1}+(2013^{2^{k}})^{m-2}+...+1 \right ]$ là số lẻ ( do có $m$ số hạng)
Từ đó ta suy ra $(2013^{2^{k}}-1) \vdots 2^{2014}$

Mà $(2013^{2^{k}}-1)=(2013-1)(2013+1)(2013^2+1)(2013^{2^{2}}+1)...(2013^{2^{k-1}}+1)=2^3....(2013^2+1)(2013^{2^{2}}+1)...(2013^{2^{k-1}}+1)$

Vì $2013^{2^{m}} \vdots 2$ và $2013^{2^{m}}$ không chia hết cho $4$ với mọi $m$
suy ra $2013^{2^{m}} \vdots 2^{k+2}$ và $2013^{2^{m}}$ không chia hết cho $2^{k+3}$

vậy $n\geq 2^{2012}$ , nên giá trị nhỏ nhất của $n$ là $2^{2012}$
 



#10 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 06-08-2014 - 02:39

Up đề+Đáp án (nguồn VNMATH) 

https://docs.google....TRraVRyUmc/edit

p/s: đề bạn ongngua up sai vài chỗ (VD bài BĐT của lớp 10 đánh nhầm VP, bài dãy....)


-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#11 NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{K50}}\sim \boxed{\text{CSP}}$

Đã gửi 25-02-2017 - 23:43

 

mo.png

Môn Toán lớp 10.

 

Câu 5. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$.

 
 

 

 

 

 

 

Một cách khác cho câu $5$.

Xét:

$v_{2}\left ( 2013^{n}-1 \right )=v_{2}\left ( 2013-1 \right )+v_{2}\left ( n \right )=2+v_{2}\left ( n \right )\geq v_{2}\left ( 2^{2014} \right )=2014v_{2}\left ( 2 \right )=2014$

$\Rightarrow v_{2}\left ( n \right )\geq 2012$

Vậy $n_{min}=2^{2012}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 25-02-2017 - 23:44

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh