Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{1}{c^{2}+a+b}+\frac{1}{a^{2}+b+c}+\frac{1}{b^{2}+a+c}\leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 22-04-2014 - 21:30

Cho a, b, c dương và a + b + c = 3. Chứng minh

$\frac{1}{c^{2}+a+b}+\frac{1}{a^{2}+b+c}+\frac{1}{b^{2}+a+c}\leq 1$



#2 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 22-04-2014 - 21:37

Cho a, b, c dương và a + b + c = 3. Chứng minh

$\frac{1}{c^{2}+a+b}+\frac{1}{a^{2}+b+c}+\frac{1}{b^{2}+a+c}\leq 1$

 

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz ta có

 

$(c^2+a+b)(1+a+b)\geqslant (a+b+c)^2\Rightarrow \frac{1}{c^2+a+b}\leqslant \frac{a+b+1}{(a+b+c)^2}$

 

Tương tự......

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{c^2+a+b}\leqslant \frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}=1$

 

(do $a+b+c=3$)

 

P/s: k biết có đúng k nựa



#3 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 22-04-2014 - 21:41

Cho a, b, c dương và a + b + c = 3. Chứng minh

$\frac{1}{c^{2}+a+b}+\frac{1}{a^{2}+b+c}+\frac{1}{b^{2}+a+c}\leq 1$

Cách khác:

Ta có: $\frac{1}{c^2-c+3}\leq \frac{-c+4}{9}\Leftrightarrow (c-1)^2(3-c)\geq 0\Leftrightarrow (c-1)^2(a+b)\geq 0$

$VT=\sum \frac{1}{c^2-c+3}\leq \frac{-(a+b+c)+12}{9}=1$



#4 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 22-04-2014 - 21:44

Cho a, b, c dương và a + b + c = 3. Chứng minh

$\frac{1}{c^{2}+a+b}+\frac{1}{a^{2}+b+c}+\frac{1}{b^{2}+a+c}\leq 1$

Ta chứng minh:

$\frac{1}{c^{2}+a+b}= \frac{1}{c^{2}+3-c}\leq \frac{4-c}{9}$

$\Leftrightarrow (c-1)^{2}(c-3)\leq 0$

Tương tự ......

$\sum \frac{1}{c^{2}+a+b}\leq 1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh