Một đường thẳng đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ cắt $AB;AC$ lần lượt tại $M;N$.
Chứng minh:
$$\frac{BM.CN}{AM.AN}\leq \frac{BC^{2}}{4AB.AC}$$
Bài làm của MSS 52:
Bổ đề: (Hình của bổ đề cũng là hình của bài toán trên)
Một đường thẳng đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ cắt $AB;AC$ lần lượt tại $M;N$
Chứng minh: $a=b.\frac{BM}{AM}+c.\frac{CN}{AN}$
Chứng minh : Xem $AB=c,BC=a,CA=b$
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$
$D$ là giao điểm $AF$ và $BC$.
Kẻ $BE//MN,CF//MN(E,F$ thuộc $AD)$
hinh mss 8.jpg 26.77K
0 Số lần tải
$\bigtriangleup BDE\sim\bigtriangleup CDF\Rightarrow \frac{DE}{DF}=\frac{DB}{DC}=\frac{c}{b}$
$\Rightarrow DE.b=DF.c$ ( 
1)
Áp dụng định lí Thales :
$MI//BE\Rightarrow \frac{BM}{AM}=\frac{IE}{IA}=\frac{ID-DE}{IA}$
$NI//CF\Rightarrow \frac{CN}{AN}=\frac{IF}{IA}=\frac{ID+DF}{IA}$
$\Rightarrow b.\frac{BM}{AM}+c.\frac{CN}{AN}=\frac{b(ID-DE)+c(ID+DF)}{IA}=\frac{ID(b+c)-b.DE+c.DF}{IA}$ ( 2)
Từ ( 1) và ( 2) ta có $b.\frac{BM}{AM}+c.\frac{CN}{AN}=\frac{ID}{IA}.(b+c)$
Mặt khác theo tính chất đường phân giác : $\frac{ID}{IA}=\frac{BD}{c}=\frac{DC}{b}=\frac{a}{b+c}$
$b.\frac{BM}{AM}+c.\frac{CN}{AN}=\frac{a}{b+c}.(b+c)=a$. (dpcm)
Trở lại bài toán:
Áp dụng bổ đề trên và bất đẳng thức Cauchy:
$a=b.\frac{BM}{AM}+c.\frac{CN}{AN}$$\geq 2\sqrt{bc.\frac{BM}{AM}.\frac{CN}{AN}}$
$\Rightarrow a^{2}\geq 4bc.\frac{BM}{AM}.\frac{CN}{AN}$
$\Rightarrow$$\frac{BM.CN}{AM.AN}\leq \frac{a^{2}}{4bc}$
Hay $\frac{BM.CN}{AM.AN}\leq \frac{BC^{2}}{4AB.AC}$
Đẳng thức xảy ra khi $b.\frac{BM}{AM}=c.\frac{CN}{AN}\Rightarrow \frac{BM}{CN}.\frac{AM}{AN}=\frac{c}{b}$
_____________
Lời giải đúng, mở rộng hơi củ chuối nhưng thôi chấp nhận cho 8 điểm mở rộng
$d = 9$
$S = 50$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-05-2014 - 23:33
