Chủ đề này có 10 trả lời

[vokyluat]

Câu 1: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

Câu 2: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}$

Câu 3: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{zx}\geq 3\sqrt{3}$

Làm giúp mình với sắp kiểm tra học kỳ rồi! Cám ơn các bạn nhiều!

Facebook: kailozjtke

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vokyluat: 25-04-2014 - 20:54

[BysLyl]

 

Câu 3: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{zx}\geq 3\sqrt{3}$

$x^{3}+y^{3}+1=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+xyz\geq (x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)$

=> $\sum \frac{\sqrt{x^{3}+y^{3}+1}}{xy}\geq \sum \sqrt{\frac{x+y+z}{xy}}\geq 3\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

[Vu Thuy Linh]

 

Câu 2: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}$

 

$a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2\geq 2(ab+b+1)$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\leq \frac{1}{2}.\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}$

[Vu Thuy Linh]

Câu 1: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

Câu 2: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}$

Câu 3: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{zx}\geq 3\sqrt{3}$

Làm giúp mình với sắp kiểm tra học kỳ rồi! Cám ơn các bạn nhiều!

Facebook: kailozjtke

 

Câu 1: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

 

$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\frac{1-c}{\sqrt{ab+1-a-b}}=\frac{1-c}{\sqrt{(1-a)(1-b)}}$

CMTT => $VT=\sum \frac{1-c}{\sqrt{(1-a)(1-b)}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{(1-a)(1-b)(1-c)}}=3$

[Trang Luong]

Câu 1: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

Câu 2: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}$

Câu 3: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{zx}\geq 3\sqrt{3}$

Làm giúp mình với sắp kiểm tra học kỳ rồi! Cám ơn các bạn nhiều!

Facebook: kailozjtke

Câu 1:

Ta có :$ab+c=ab+c(a+b+c)=(c+a)(c+b)$

$\Rightarrow \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\frac{a+b}{\sqrt{(a+c)(c+b)}}$

$\Rightarrow$$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq \sum \frac{a+b}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 25-04-2014 - 21:09

[vokyluat]

$x^{3}+y^{3}+1=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+xyz\geq (x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)$

=> $\sum \frac{\sqrt{x^{3}+y^{3}+1}}{xy}\geq \sum \sqrt{\frac{x+y+z}{xy}}\geq 3\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Giải cụ thể hơn cho mình được không? Mình không hiểu cho lắm!

[vokyluat]

$a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2\geq 2(ab+b+1)$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\leq \frac{1}{2}.\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}$

Giải cụ thể hơn cho mình được không? Mình không hiểu cho lắm!

[BysLyl]

Giải cụ thể hơn cho mình được không? Mình không hiểu cho lắm!

mình giải từ dòng thứ hai nhé

$\sum \frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}\geq \sqrt{x+y+z}.\left ( \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}} \right )\geq \sqrt{3}.\frac{3}{\sqrt[3]{\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}}}=3\sqrt{3}$

[Vu Thuy Linh]

Giải cụ thể hơn cho mình được không? Mình không hiểu cho lắm!

?? Đoạn nào nhỉ. Chắc cái này:

$\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab(bc+c+1)}+\frac{b}{b(ca+c+1)}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+bc+b}=\frac{ab+b+1}{ab+b+1}=1$

( vid abc = 1)

[nguyenhongsonk612]

Câu 1: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

Giải:

Ta có: 

$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}= \frac{a+b}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}+\frac{b+c}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}+\frac{c+a}{\sqrt{(c+b)(a+b)}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=3.$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

[Messi10597]

Câu 3: 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$1+x^{3}+y^{3}\geq 3\sqrt[3]{x^{3}y^{3}}=3xy$

$1+y^{3}+z^{3}\geq 3yz$

$1+z^{3}+x^{3}\geq 3zx$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{zx}\geq \sqrt{3}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})$

Mà do $xyz=1$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\geq 3$

Từ đó suy ra đpcm