Chủ đề này có 2 trả lời

[xCaroZ]

Cho $a,b,c$ là các số thực tùy ý

  a:Chứng minh rằng :$2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c} \geq 9\sqrt[9]{abc}$

  b:Chứng minh rằng :$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 28-04-2014 - 16:10

[canhhoang30011999]

Cho $a,b,c$ là các số thực tùy ý

  a:Chứng minh rằng :$2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c} \geq 9\sqrt[9]{abc}$

  b:Chứng minh rằng :$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

 

áp dụng bđt Cô-si ta có

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}\geq 9\sqrt[9]{abc}$

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c$ là các số thực tùy ý

  a:Chứng minh rằng :$2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c} \geq 9\sqrt[9]{abc}$

  b:Chứng minh rằng :$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

a)

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}\geqslant 9\sqrt[9]{abc}$

 

b) Áp dụng $AM-GM$

 

$\frac{ab}{c^2}+\frac{b}{a}\geqslant \frac{2b}{c};\frac{ab}{c^2}+\frac{a}{b}\geqslant \frac{2a}{c}$

 

$\frac{bc}{a^2}+\frac{b}{c}\geqslant \frac{2b}{a};\frac{bc}{a^2}+\frac{c}{b}\geqslant \frac{2c}{a}$

 

$\frac{ca}{b^2}+\frac{a}{c}\geqslant \frac{2a}{b};\frac{ca}{b^2}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{2c}{a}$

 

Cộng theo từng vế và rút gọn ta có đpcm