Chủ đề này có 4 trả lời

[Ham học toán hơn]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh 

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq\frac{3}{4}$

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh 

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq\frac{3}{4}$

Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

Có :$\sum \frac{a}{(a+1)(b+1)}=\sum \frac{\frac{x}{y}}{(\frac{x}{y}+1)(\frac{y}{z}+1)}=\sum \frac{xz}{(x+y)(y+z)}\geq \frac{3}{4}< = > \frac{\sum xy(x+z)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq \frac{3}{4}< = > 4\sum xz(x+z)\geq 3(x+y)(y+z)(x+z)< = > \sum xy(x+y)\geq 6xyz< = > \sum x(y-x)^2\geq 0$

Điều này luôn đúng

[Ham học toán hơn]

Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

Có :$\sum \frac{a}{(a+1)(b+1)}=\sum \frac{\frac{x}{y}}{(\frac{x}{y}+1)(\frac{y}{z}+1)}=\sum \frac{xz}{(x+y)(y+z)}\geq \frac{3}{4}< = > \frac{\sum xy(x+z)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq \frac{3}{4}< = > 4\sum xz(x+z)\geq 3(x+y)(y+z)(x+z)< = > \sum xy(x+y)\geq 6xyz< = > \sum x(y-x)^2\geq 0$

Điều này luôn đúng

Xin mấy anh, đừng ghi cái dấu giống chữ Z kia, em không hiểu gì hết.....

[Hoang Tung 126]

Xin mấy anh, đừng ghi cái dấu giống chữ Z kia, em không hiểu gì hết.....

Cái đấy chỉ các hoán vị thôi ko có gì to tác cả

[Pham Le Yen Nhi]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh 

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq\frac{3}{4}$

Bài này có thể giải đơn giản hơn bằng pp biến đổi tương đương

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(c+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(c+1)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 4a(c+1)+4b(a+1)+4c(b+1)\geq 3(a+1)(b+1)(c+1)\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\geq 6$  (2)

(2) luôn đúng  vì $ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3$ và $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (do $abc=1$)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Le Yen Nhi: 01-05-2014 - 00:34