Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Chứng minh rằng $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$



#2
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Chứng minh rằng $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$

bđt$\Leftrightarrow \frac{3a}{2a-b}+\frac{3c}{2c-b}\geq 6$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2-\frac{b}{a}}+\frac{1}{2-\frac{b}{c}}\geq 2$

ta có$\frac{1}{2-\frac{b}{a}}+\frac{1}{2-\frac{b}{c}}\geq \frac{4}{4-2}= 2$(đpcm)



#3
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Chứng minh rằng $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$

Ta có :

Từ $GT\Rightarrow ab+bc=2ac,\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{a+c}\Rightarrow 2b\leq a+c$

Ta thấy $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{(2c-b)(a+b)+(2a-b)(b+c)}{(2c-b)(2c-a)}=\frac{2ac-b^2-ab+2cb+2ab-bc-b^2+2ac}{4ac+b^2-2bc-2ba}=\frac{4ac+ab+bc-2b^2}{b^2}\geq 4\Rightarrow 3(ab+bc)\geq 6b^2\Leftrightarrow a+c\geq 2b$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#4
NMDuc98

NMDuc98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Chứng minh rằng $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$

Từ giả thiết ta có:$b=\frac{2ac}{a+c}$.Thế vào BĐT cần chứng minh ta có:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\frac{(a+c)^2}{a^2}+\frac{(a+c)^2}{c^2}\geq 8~~~~(*)$

Ta có:

$\frac{(a+c)^2}{a^2}+\frac{(a+c)^2}{c^2}=2+2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{c^2}\geq 2+2.2\sqrt{\frac{ca}{ac}}+2\sqrt{\frac{c^2a^2}{a^2c^2}}=8$

$(*)$ được chứng minh.

Bài toán được chứng minh.


Nguyễn Minh Đức

Lặng Lẽ

THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Từ giả thiết suy ra $\left\{\begin{matrix}2a-b=\frac{ab}{c} & \\2c-b=\frac{bc}{a} & \end{matrix}\right.$

Ta có: $\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{\sqrt{ac}}\Rightarrow \sqrt{\frac{ac}{b^2}}\geqslant 1$

+) $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{c(a+b)}{ab}+\frac{a(b+c)}{bc}=\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\geqslant 4\sqrt[4]{\frac{ac}{b^2}}\geqslant 4(Q.E.D)$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh