Đến nội dung


Hình ảnh

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 30-04-2014 - 22:00

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$



#2 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 30-04-2014 - 22:15

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$

 

từ giã thiết và áp dụng AM-GM ta dễ dàng chứng minh được rằng: $abc\geq 1$

ta có:

$$VT\geq \sqrt{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}\geq \sqrt{2\left ( 3\sqrt[6]{abc} \right )^2}\geq 3\sqrt{2}$$

$$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$$



#3 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 30-04-2014 - 22:17

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$

$3= \sum \frac{1}{a}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}$

$\Rightarrow 3\geq \sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{a}}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{a}\geq 3$

ta có $\sum \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 3\sqrt{2}$



#4 huythcsminhtan

huythcsminhtan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-04-2014 - 22:25

áp dụng bunhia có : $2(a+b) \ge (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \rightarrow a+b \ge \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2}$

 

Làm tương tự với b+c và c+a 

 

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c} \ge \sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2}}+\sqrt{\frac{(\sqrt{c}+\sqrt{b})^2}{2}}+\sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c})^2}{2}}=\frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

 

từ giả thiết và theo cauchy dễ dàng chứng minh được $abc \ge 1$

 

$ \sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \ge \sqrt{2}.3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{2}.3 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 01-05-2014 - 08:45

$\bigstar$ Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có $\bigstar$

 
  $\bigstar$ Perfect numbers like perfect men are very rare. $\bigstar$ 
 
                                                                                                   
                                                                                       ____ Rene Descartes ____

#5 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-04-2014 - 22:27

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\geqslant \frac{4}{a+b}+2\geqslant \frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{a+b}}$

 

$\Rightarrow 2\sum \frac{1}{a}+6\geqslant 2\sqrt{8}\sum \frac{1}{\sqrt{a+b}}\geqslant \frac{18\sqrt{8}}{\sum \sqrt{a+b}}$

 

$\Leftrightarrow 12\sum \sqrt{a+b}\geqslant 18\sqrt{8}\Leftrightarrow \sum \sqrt{a+b}\geqslant 3\sqrt{2}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh