Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$
Chứng minh rằng:
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$
Chứng minh rằng:
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$
Chứng minh rằng:
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$
từ giã thiết và áp dụng AM-GM ta dễ dàng chứng minh được rằng: $abc\geq 1$
ta có:
$$VT\geq \sqrt{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}\geq \sqrt{2\left ( 3\sqrt[6]{abc} \right )^2}\geq 3\sqrt{2}$$
$$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$$
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$
Chứng minh rằng:
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$
$3= \sum \frac{1}{a}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}$
$\Rightarrow 3\geq \sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{a}}$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a}\geq 3$
ta có $\sum \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 3\sqrt{2}$
áp dụng bunhia có : $2(a+b) \ge (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \rightarrow a+b \ge \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2}$
Làm tương tự với b+c và c+a
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c} \ge \sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2}}+\sqrt{\frac{(\sqrt{c}+\sqrt{b})^2}{2}}+\sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c})^2}{2}}=\frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$
từ giả thiết và theo cauchy dễ dàng chứng minh được $abc \ge 1$
$ \sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \ge \sqrt{2}.3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{2}.3 $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 01-05-2014 - 08:45
$\bigstar$ Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có $\bigstar$
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$
Chứng minh rằng:
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\geqslant \frac{4}{a+b}+2\geqslant \frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{a+b}}$
$\Rightarrow 2\sum \frac{1}{a}+6\geqslant 2\sqrt{8}\sum \frac{1}{\sqrt{a+b}}\geqslant \frac{18\sqrt{8}}{\sum \sqrt{a+b}}$
$\Leftrightarrow 12\sum \sqrt{a+b}\geqslant 18\sqrt{8}\Leftrightarrow \sum \sqrt{a+b}\geqslant 3\sqrt{2}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh