Đến nội dung


Hình ảnh

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 01-05-2014 - 08:08

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$



#2 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 01-05-2014 - 08:22

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ 

$a^{3}+b^{3}+2c^{3}\geq ab(a+b)+2c^{3}\geq 2\sqrt{2abc^{3}(a+b)}=4c\sqrt{a+b}$

CMTT rồi cộng vế


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#3 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 01-05-2014 - 08:23

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Áp dụng BĐT Schur.

Ta có : $a^3+b^3+c^3\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-3abc=\frac{2(a+b)}{c}+\frac{2(b+c)}{a}+\frac{2(a+c)}{b}-6= \sum \left ( \frac{2a+2b}{c}+2c^3 \right )-2\left ( a^3+b^3+c^3+3 \right )\Rightarrow 3(a^3+b^3+c^3)+6\geq \sum 4a\sqrt{b+c}\Leftrightarrow 4\left ( a^3+b^3+c^3 \right )\geq 4\sum a\sqrt{b+c}$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 01-05-2014 - 08:24

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#4 nk0kckungtjnh

nk0kckungtjnh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tôn Quang Phiệt - Đồng Văn- Thanh Chương- Nghệ An
  • Sở thích:Làm Toán

Đã gửi 01-05-2014 - 10:35

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Lời giải khác: 

 Sử dụng $Cauchy - Schawrz$ cho vế phải, ta có:

 

$(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+c})^{2}\leq 3[ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)]$ 

 

Mặt khác theo $AM - GM$ thì: $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)\geq(x+y)xy$

 

Do đó: $(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+c})^{2}\leq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

 

Ta chỉ cần chứng minh: $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq 6 $ 

 

Bất đẳng thức cuối đúng theo $ AM - GM $ 


             Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng


         Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng

- Nhân Chính -

 


#5 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 31-03-2021 - 12:12

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$

$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 31-03-2021 - 12:13

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh