Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 01-05-2014 - 08:20

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. Chứng minh 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 01-05-2014 - 09:25


#2 nk0kckungtjnh

nk0kckungtjnh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tôn Quang Phiệt - Đồng Văn- Thanh Chương- Nghệ An
  • Sở thích:Làm Toán

Đã gửi 01-05-2014 - 09:44

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. Chứng minh 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$

 

Lời Giải: 

 Bất đẳng thức  cần chứng minh tương đương:

 

$\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}} \geq \frac{22}{15} $                   $(1)$

 

Đặt $ \frac{b}{a} =x ; \frac{c}{b} =y ; \frac{a}{c}=z $  $\Rightarrow  xyz=1; \frac{1}{4}\leq x,y,z\leq 4 $

 

 $(1) \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{22}{15}$ 

 

Giả sử $Min {x,y,z} =z \Rightarrow xy \geq 1$.

 

Chú ý rằng ta có bài toán phụ sau: Với $xy \geq1$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

 

( Chứng minh bằng biến đổi tương đương )

 

 Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+ \frac{1}{z} \geq \frac{22}{15}$

 

 Dồn về hàm 1 biến $a=\sqrt{z}$ ( Vì $\sqrt{xy}= \frac{1}{\sqrt{z}}$ ) ta chỉ cần chứng minh: 

 

$\frac{2a}{a+1}+\frac{1}{a^{2}+1}\geq \frac{22}{15}$  ( Bằng biến đổi tương dương ) 

 

 Bất đẳng thức được chứng minh xong 

 

P/s: Bài này rất hay và khó, giống cấu trúc đề thi đại học. Một số bài toán cũng ý tưởng và cách giải như trên:

 

Bài toán 1 ( VMO 2014 )Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$T=\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$$

với $x,y,z$ là các số thực dương 

 

Bài toán 2: ( Việt Nam TST 2005) Cho các số dương $a,b,c$. Tìm $Min$  $S=(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3} $

 

Bài toán 2: ( HSG Toán 12 tỉnh Quảng Bình 2013 - 2014) 

 Cho các số dương $x,y,z$ có tích bằng $8$. Tìm $Min$ 

$S=\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{2}{(y+2)^{3}}+\frac{3}{(z+64)^{3}} $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 01-05-2014 - 10:24

             Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng


         Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng

- Nhân Chính -

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh