Chủ đề này có 1 trả lời

[AutumComputer]

Chứng minh với mọi m pt $x^{3}+2mx^{2}+(m+1)x-3=0$ luôn có 1 nghiệm dương

[E. Galois]

Chứng minh với mọi m pt $x^{3}+2mx^{2}+(m+1)x-3=0$ luôn có 1 nghiệm dương

Đặt

$$f(x) = x^{3}+2mx^{2}+(m+1)x-3$$

Ta có:

$$\lim_{x\to +\infty}\left [ x^{3}+2mx^{2}+(m+1)x-3 \right ] = \lim_{x\to +\infty}x^3\left ( 1+\frac{2m}{x}+\frac{m+1}{x^2}-\frac{3}{x^3} \right ) = +\infty$$

Do đó tồn tại số thực dương $a$ sao cho $f(a) > 0$.

Mặt khác: $f(0) = -3 <0$. Vậy $f(0)f(a) < 0$.

Dễ thấy hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;a]$. 

Theo hệ quả định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, ta suy ra phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trong $(0;a)$.

Đó là điều phải chứng minh.