Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Cho $x,y,z\geqslant 0$ và $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$



#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho $x,y,z\geqslant 0$ và $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$

 

$x^2y^2z^2+\frac{1}{64}\geqslant \frac{xyz}{4}\Rightarrow P\geqslant x^3+y^3+z^3+\frac{xyz}{4}-\frac{1}{64}$

 

$\geqslant \frac{8(x^3+y^3+z^3)+15xyz}{12}-\frac{1}{64}$

 

Theo BĐT $Schur$ thì $x^3+y^3+z^3+3xyz\geqslant xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$

 

$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+5xyz\geqslant (x+y)(y+z)(z+x)$

 

$\Rightarrow 4(x^3+y^3+z^3)+15xyz\geqslant (x+y+z)^3$

 

Do đó $P\geqslant \frac{4(x^3+y^3+z^3)+(x+y+z)^3}{12}-\frac{1}{64}$ $(1)$

 

Mà từ giả thiết $x+y+z=\frac{3}{2}\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geqslant \frac{3}{8}$ $(2)$

 

Từ $(1);(2)$ suy ra $P\geqslant \frac{25}{64}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 02-05-2014 - 06:40


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta đi chứng minh $S\geqslant \frac{25}{64}$

Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$ thì $S=r^2+3r+(\frac{27}{8}-\frac{9}{2}q)$

Cần chứng minh: $f(r)=r^2+3r+(\frac{191}{64}-\frac{9}{2}q)\geqslant 0$

Dễ thấy $f(r)$ là hàm đồng biến mà theo Schur: $\frac{-3}{8}+\frac{2q}{3}=\frac{-p^3}{9}+\frac{4}{9}pq\leqslant r$

Do đó $f(r)\geqslant f(\frac{2q}{3}-\frac{3}{8})=\frac{(4q-3)(q-6)}{9}\geqslant 0$

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh