Cho $x,y,z\geqslant 0$ và $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
Tìm GTNN của $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
#1
Đã gửi 02-05-2014 - 04:55
#2
Đã gửi 02-05-2014 - 06:35
Cho $x,y,z\geqslant 0$ và $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm GTNN của $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
Áp dụng BĐT $AM-GM$
$x^2y^2z^2+\frac{1}{64}\geqslant \frac{xyz}{4}\Rightarrow P\geqslant x^3+y^3+z^3+\frac{xyz}{4}-\frac{1}{64}$
$\geqslant \frac{8(x^3+y^3+z^3)+15xyz}{12}-\frac{1}{64}$
Theo BĐT $Schur$ thì $x^3+y^3+z^3+3xyz\geqslant xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$
$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+5xyz\geqslant (x+y)(y+z)(z+x)$
$\Rightarrow 4(x^3+y^3+z^3)+15xyz\geqslant (x+y+z)^3$
Do đó $P\geqslant \frac{4(x^3+y^3+z^3)+(x+y+z)^3}{12}-\frac{1}{64}$ $(1)$
Mà từ giả thiết $x+y+z=\frac{3}{2}\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geqslant \frac{3}{8}$ $(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra $P\geqslant \frac{25}{64}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 02-05-2014 - 06:40
- trandaiduongbg, Trang Luong, Vu Thuy Linh và 9 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 09-05-2021 - 15:21
Ta đi chứng minh $S\geqslant \frac{25}{64}$
Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$ thì $S=r^2+3r+(\frac{27}{8}-\frac{9}{2}q)$
Cần chứng minh: $f(r)=r^2+3r+(\frac{191}{64}-\frac{9}{2}q)\geqslant 0$
Dễ thấy $f(r)$ là hàm đồng biến mà theo Schur: $\frac{-3}{8}+\frac{2q}{3}=\frac{-p^3}{9}+\frac{4}{9}pq\leqslant r$
Do đó $f(r)\geqslant f(\frac{2q}{3}-\frac{3}{8})=\frac{(4q-3)(q-6)}{9}\geqslant 0$
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh