Chủ đề này có 2 trả lời

[Trang Luong]

Cho các số thực thay đổi $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN : $Q=xy+yz+xz+\frac{1}{2}\left [ x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2 \right ]$

[buitudong1998]

Cho các số thực thay đổi $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN : $Q=xy+yz+xz+\frac{1}{2}\left [ x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2 \right ]$

Cách 1: Áp dụng BĐT $(a-b)^{2}(1-\alpha )\geqslant 0\forall \alpha \leqslant 1$ $(1)$

Từ GT suy ra $x^{2},y^{2},z^{2}\leqslant 1$

Từ $(1)$ suy ra: 

$x^{2}+y^{2}\geqslant 2xy+z^{2}(x-y)^{2}$ tương tự với $y,z$

Do đó: $2Q\leqslant 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\rightarrow Q\leqslant 1$ 

Cách 2: Ta có: $Q=xy+yz+zx+\frac{1}{2}(\sum x^{2}(y-z)^{2})\leqslant \frac{1}{2}(\sum (y-z)^{2})+xy+yz+zx=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 02-05-2014 - 19:31

[KietLW9]

Ta có: $xy+yz+zx+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]=xy+yz+zx+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 -x^2yz-xy^2z-xyz^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(1-x^2)+zx(1-y^2)+xy(1-z^2)=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)+xy(x^2+y^2)\leqslant x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+\frac{y^2+z^2}{2}(y^2+z^2)+\frac{z^2+x^2}{2}(z^2+x^2)+\frac{x^2+y^2}{2}(x^2+y^2)=\frac{2(x^4+y^4+x^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2))}{2}= \frac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ hoặc $x=y=z=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-04-2021 - 16:28