Đến nội dung

Hình ảnh

$B=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

$1):$Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

                               $A=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$2):$Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

                              

                               $B=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$



#2
phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Bài 2 nha!!!!!!!!!!! mình tưởng đầu bài thì mẫu số phải là $(a+\sqrt{(a+b)(a+c)})$ chứ nhỉ???????????

Ta áp dụng Bunhiacopsky: $\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{ac}+\sqrt{ab}$

Tương tự cho b,c

Cuối cùng ta có: $B=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{a}{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Đến đây thì chịu rồi.......................


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#3
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Bài 2 nha!!!!!!!!!!! mình tưởng đầu bài thì mẫu số phải là $(a+\sqrt{(a+b)(a+c)})$ chứ nhỉ???????????

Lần sau làm chính xác thì hãy post giải nhé :D

 

$2):$Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

                              

                               $B=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$2$ bài tương tự nhau thôi  :luoi: 

Đặt $(\sqrt{a+b},...)\Rightarrow (z,...)\Rightarrow a=\frac{y^2+z^2-x^2}{2}$

Khi đó $B=\frac{1}{2}(\frac{x^2+y^2-z^2}{xy}+\frac{x^2+z^2-y^2}{xz}+\frac{y^2+z^2-x^2}{yz})$

$\Rightarrow 2B=\frac{x^2z+y^2z-z^3}{xyz}+\frac{x^2y+z^2y-y^3}{xyz}+\frac{y^2x+z^2x-x^3}{xyz}=\frac{\sum xy(x+y)-(x^3+y^3+z^3)}{xyz}$

Sử dụng BĐT Schur bậc $3$ ta có ngay 

         $ 2B=\frac{\sum xy(x+y)-(x^3+y^3+z^3)}{xyz}\leqslant 3\Rightarrow B\leqslant \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#4
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Tuyệt vời,anh Toc Ngan cho em hỏi bài này có làm theo cách sử dụng cosi được không?đây là bài tập em lấy trong phần bất dẳng thức cosi :wub:



#5
hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

đặt làm j nhỉ :v, đây là cách cauchy: bài 2:

 $\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})=\frac{1}{2}\left (\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+c})=\frac{3}{2}$
đúng là bài 1 và bài hai tươn tự nhau thôi. dấu bằng xảy ra khi a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanganhhaha: 08-05-2014 - 22:50


#6
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Tuyệt vời,anh Toc Ngan cho em hỏi bài này có làm theo cách sử dụng cosi được không?đây là bài tập em lấy trong phần bất dẳng thức cosi :wub:

AM-GM thì anh không biết, với bài kiểu trên có thêm $1$ cách dùng Cauchy-Schwarzt 

Ta có $(\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}})^2\leqslant (\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c})(\frac{a}{c+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c})=(1+\frac{b}{b+c})(1+\frac{c}{b+c})=2+\frac{bc}{(b+c)^2}\leqslant \frac{9}{4}$

Vậy $\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant \frac{3}{2}$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh