Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$
Toán thủ ra đề: angleofdarkness
Bài làm của MSS 10
Bổ đề 1: Với mọi số thực $a, b, c, x, y, z$ $(x, y, z>0)$ ta luôn có:
$$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$$
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh với mọi số thực $m, n, p, q$ $(p, q>0)$ ta có
$$\dfrac{m^2}{p}+\dfrac{n^2}{q}\geq \dfrac{(m+n)^2}{p+q} \ \ \ \ (\star)$$
Thật vậy bất đẳng thức $(\star)$ tương đương với $\dfrac{(mq-np)^2}{pq(p+q)}\geq 0$ $($Luôn đúng vì $p, q>0)$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{m}{p}=\dfrac{n}{q}$
Áp dụng bất đẳng thức $(\star),$ ta có
$$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$$
Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$
Bổ đề 2: Với mọi số dương $a, b, c$ ta có
$$a^3+b^3+c^3\geq 3abc$$
Chứng minh
Bất đẳng thức đã cho tương đương với $\dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geq 0$ (Luôn đúng với $a,b,c >0)$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c.$
Quay lại bài toán
Đặt $x=\dfrac{1}{a}, y=\dfrac{1}{b}, z=\dfrac{1}{c}$ $(a,b,c>0)$
Vì $xyz=1$ nên $abc=1$
Khi đó $$\textrm{E}=\dfrac{a^3bc}{b+c}+\dfrac{ab^3c}{c+a}+\dfrac{abc^3}{a+b}=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}$$
Áp dụng bổ đề 1, ta có: $$\textrm{E}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}$$
Áp dụng bổ đề 2, ta có: $$\textrm{E}=\dfrac{a+b+c}{2}\geq\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\dfrac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1 \Leftrightarrow x=y=z=1$
Vậy $\textrm{min}\ \textrm{E}=\dfrac{3}{2}$ khi $x=y=z=1.$
d = 10
S = 56
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:23
