Chủ đề này có 11 trả lời

[E. Galois]

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 09/5/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

 

I- Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

 

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 

Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Thành viên diễn đàn không đăng kí thi đấu vẫn có thể giải bài, nhưng phải ghi rõ là: Mình không phải là toán thủ thi đấu

 

4) Sau trận này, 02 toán thủ đứng cuối cùng của bảng xếp hạng sẽ bị loại khỏi giải đấu.

[E. Galois]

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(0;1;-2),B(2;-1;1)$ và đường thẳng:

$$(\Delta): \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1} =\frac{z-1}{2}$$

Hãy tìm tọa độ điểm $C$ trên đường thẳng $(\Delta)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất.

 

Đề của BTC

[25 minutes]

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(0;1;-2),B(2;-1;1)$ và đường thẳng:

$$(\Delta): \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1} =\frac{z-1}{2}$$

Hãy tìm tọa độ điểm $C$ trên đường thẳng $(\Delta)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất.

 

Đề của BTC

Do $C$ thuộc $\Delta \Rightarrow C(t+1,2-t,2t+1),t \in R$

Ta có $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}(2,-2,3)\\ \overrightarrow{AC}(t+1,1-t,2t+3) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{(t+9)^2+(t+3)^2+4^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2+24t^2+106}=\frac{1}{2}\sqrt{2(t+6)^2+34}\geqslant \frac{\sqrt{34}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $t=6$, hay $C(7,-4,13)$

 

 

 

$\boxed{Điểm: 3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 22-05-2014 - 10:56

[motdaica]

Bài làm:

$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ => vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-1;2)$

Ta có : AB là đường thẳng đia qua A và nhận $\overrightarrow{AB}=(2;-2;3)$ làm vecto chỉ phương

=> phương trình đường thẳng AB : $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+2}{3}$

Xét đường thẳng AB có A(0;1;-2) và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(2;-2;3)$ ,đường thẳng $(\Delta)$ có $M(1;2;1)\in (\Delta )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-1;2)$  => hai vectơ không cùng phương

Ta có hệ :$\left\{\begin{matrix} 0+2t=1+t'\\ 1-2t=2-t'\\ -2+3t=1+2t' \end{matrix}\right.$

Từ 2 phương trình đầu =>$\left\{\begin{matrix} 2t-t'=1\\ 2t-t'=-1 \end{matrix}\right.$ vô nghiệm => hệ vô nghiệm => AB và $(\Delta)$ chéo nhau.

Lấy $C(a;3-a;2a-1)\in (\Delta )$. Gọi H là hình chiều của C trên AB.=> H có tọa độ (2b;1-2b;3b-2) =>$\overrightarrow{CH}=(2b-a;a-2b-2;3b-2a-1)$

Ta có :$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}CH.AB$ => $S_{\bigtriangleup ABC}$ nhỏ nhất <=> CH nhỏ nhất (vì A,B cố định=>AB không đổi) <=>CH là đoạn vuông gó chung của AB và $(\Delta)$

=> ta có $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{CH}.\overrightarrow{u}=0 \end{matrix}\right.$

=>$\left\{\begin{matrix} (2b-a)-(a-2b-2)+2(3b-2a-1)=0\\ 2(2b-a)-2(a-2b-2)+3(3b-2a-1)=0 \end{matrix}\right.$

=> $\left\{\begin{matrix} -6a+10b=0\\ 17b-10a=-1 \end{matrix}\right.$

=>$\left\{\begin{matrix} a=-5\\ b=-3 \end{matrix}\right.$=> Tọa độ điểm C(-5;8;-11)

Vậy tọa độ điểm C là (-5;8;-11) thì diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

 

 

$\boxed{Điểm: 9,5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 22-05-2014 - 10:58

[19kvh97]

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(0;1;-2),B(2;-1;1)$ và đường thẳng:

$$(\Delta): \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1} =\frac{z-1}{2}$$

Hãy tìm tọa độ điểm $C$ trên đường thẳng $(\Delta)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất.

 

Đề của BTC

pt tham số của $\Delta $ là $\left\{\begin{matrix}x=t+1 &  & \\ y=2-t &  & \\ z=2t+1 &  & \end{matrix}\right.$

do $C\epsilon \Delta $ nên giả sử $C(t+1;2-t;2t+1)$ 

ta có $\vec{AB}=(2;-2;3)$

$\vec{AC}=(t+1;1-t;2t+1)$

suy ra $[\vec{AB},\vec{AC}]=(-t-9;-t-3;4)$

ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}|[\vec{AB},\vec{AC}]|=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2+24t+106}$

mà $\sqrt{2t^2+24t+106}=\sqrt{2(t+6)^2+34}\geq \sqrt{34}$

Do đó $S_{ABC}\geq \sqrt{\frac{17}{2}}$ ĐTXR khi $t=-6$ suy ra $C(-5;8;-11)$

Vậy với $C(-5;8;-11)$ thì $minS_{ABC}= \sqrt{\frac{17}{2}}$

 

 

$\boxed{Điểm: 9,5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 22-05-2014 - 10:59

[19kvh97]

Mở Rộng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(0;1;-2),B(2;-1;1)$ và đường thẳng:

$$(\Delta): \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1} =\frac{z-1}{2}$$. Cho $C\epsilon \Delta $ sao cho $x_C=t+1$.($t$ là tham số )

Tìm trên mặt phẳng $(P):2x-2x+3z-10t+1=0$ điểm $O$ sao cho $OC$ vuông góc với $(P)$ ; $OC=a (Const)$ và $S_{OAB}$ đạt GTNN

Giải:

Dễ thấy $(P)$ vuông góc với $AB$ và $C\epsilon (P) $

Gọi $H=AB\cap (P)$ suy ra $OH$ và $CH$ cùng vuông góc với $AB$

suy ra $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.CH$ và $S_{OAB}=\frac{1}{2}.AB.OH$

mà $AB=\sqrt{7}$ không đổi do đó $S_{OAB}$ đạt GTNN khi $OH$ min

Mặt khác tam giác $HOC$ vuông tại $C$ nên

 $OH=\sqrt{CH^2+OC^2}=\sqrt{CH^2+a^2}$ mà $CH=\frac{2S_{ABC}}{AB}=\frac{2S_{ABC}}{\sqrt{7}}$

suy ra $S_{OAB}$ đạt GTNN khi $S_{ABC}$ đạt GTNN

áp dụng kết quả bài trên ta có $C(-5;8;-11)$ từ đó suy ra tọa độ $O$ theo $a$

 

[vipkutepro]

Giải:

$C$ thuộc $\left (\Delta \right )$ nên gọi $C(1+t; 2-t; 1+2t)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left ( 2;-2;3 \right ); \overrightarrow{AC}=\left ( 1+t; 1-t;3+2t \right )$

$\Rightarrow \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ]=\left ( -t-9;-t-3;4 \right )$

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( -t-9 \right )^{2}+\left ( -t-3 \right )^{2}+4^{2}}$

                                             $=\frac{1}{2}\sqrt{2t^{2}+24t+106}=\frac{1}{2}\sqrt{2\left ( t+6 \right )^{2}+34}\geq \frac{1}{2}\sqrt{34}$

Do đó diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất bằng $\frac{1}{2}\sqrt{34}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $t=-6$. Khi đó ta có tọa độ điểm $C(-5;8;-11)$

Kết luận: $C(-5;8;-11)$

 

 

$\boxed{Điểm: 10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 22-05-2014 - 10:59

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[motdaica]

Do $C$ thuộc $\Delta \Rightarrow C(t+1,2-t,2t+1),t \in R$

Ta có $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}(2,-2,3)\\ \overrightarrow{AC}(t+1,1-t,2t+3) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{(t+9)^2+(t+3)^2+4^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2+24t^2+106}=\frac{1}{2}\sqrt{2(t+6)^2+34}\geqslant \frac{\sqrt{34}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $t=6$, hay $C(7,-4,13)$

Thứ nhất : nhầm 24t thành $24t^{2}$

Thứ hai : nhâm t=-6 thành t=6 dẫn đến tọa độ C sai .Lần sau anh nhớ kiểm tra cẩn thận nhé

 

 

$\boxed{Điểm: 4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 22-05-2014 - 11:00

[CD13]

Hiện nay các bài thi của MHS đều đã được chấm, các em có gì thắc mắc thì gửi lên nhé! Anh E.Galois tổng hợp điểm nhé!

[motdaica]

Hiện nay các bài thi của MHS đều đã được chấm, các em có gì thắc mắc thì gửi lên nhé! Anh E.Galois tổng hợp điểm nhé!

Anh CD13 ơi trận 4 đã chấm hết đâu với trận 5 còn chưa chấm bài nào cả

[19kvh97]

Hiện nay các bài thi của MHS đều đã được chấm, các em có gì thắc mắc thì gửi lên nhé! Anh E.Galois tổng hợp điểm nhé!

mở rộng của em ko được tính ạ