Chủ đề này có 6 trả lời

[Super Fields]

Cho $a;b;c \in R^+$ chứng minh rằng:

 

$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

[Oral1020]

Phân tích thành:

$(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac).\sum \frac{ab(a-b)^2}{(b+c)(c+a)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \ge 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 11-05-2014 - 16:47

[mnguyen99]

Phân tích thành:

$(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac).\sum \frac{ab(a-b)^2}{(b+c)(c+a)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \ge 0$

Bạn nói rõ hơn được ko.

[hoanganhhaha]

thử tham khảo nâng cao phát triển xêm 

[mnguyen99]

thử tham khảo nâng cao phát triển xêm 

Bài này ở trang mấy .

[Super Fields]

Phát hiện một cách giải độc đáo của thầy Nguyễn Vũ Lương:

 

$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \sum \frac{a}{b+c}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}- \sum \frac{a}{b+c}\geq 0$

 

Thật vậy:

 

$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}- \sum \frac{a}{b+c}\geq 0\Leftrightarrow M=\sum \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b+c)(b^2+c^2)} \geq 0$

 

Không mất tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c$, ta có:

 

$(a^2+b^2)(a+b)\geq (c^2+a^2)(c+a)\geq (b^2+c^2)(b+c)$

 

Vì: $ab(a-b)+ac(a-c)\geq0\Rightarrow \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}\geq \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(c^2+a^2)(c+a)}$

 

và: $ca(c-a)+cb(c-b)\leq 0\Rightarrow \frac{ca(c-a)+cb(c-b)}{(a^2+b^2)(a+b)}\geq \frac{ca(c-a)+cb(c-b)}{(c^2+a^2)(c+a)}$

 

Từ đó dẫn đến:

 

$M\geq \frac{ab(a-b)+ac(a-c)+bc(b-c)+ab(b-a)+ca(c-a)+cb(c-b))}{(c^2+a^2)(c+a)}=0$

 

Vậy ta có đpcm

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 12-05-2014 - 10:50

[KietLW9]

Đây là bài toán tổng quát: Cho $a,b,c>0$ và $r,s$ là các số thực dương sao cho $r\geqslant s$. Chứng minh: $\frac{a^r}{b^r+c^r}+\frac{b^r}{c^r+a^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r}\geqslant \frac{a^s}{b^s+c^s}+\frac{b^s}{c^s+a^s}+\frac{c^s}{a^s+b^s}$