Chủ đề này có 8 trả lời

[Viet Hoang 99]

Cho $a;b;c>0$. Tìm Min $P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}$

[buitudong1998]

Cho $a;b;c>0$. Tìm Min $P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}$

$P=\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{9abc}+\frac{8(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{9abc}+\frac{2(ab+bc+ca)(a+b+c)}{abc}\geqslant 2\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9abc}}+\frac{8.9abc}{9abc}+\frac{2.9abc}{abc}\geqslant 2+8+18=28$

[buiminhhieu]

Cho $a;b;c>0$. Tìm Min $P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

Áp dụng BĐT phụ:$3(a+b+c)abc\leq (ab+bc+ca)^{2}\Rightarrow abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{9}$

Từ đó $P\geq \frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{3(a+b+c)^{4}}{(ab+bc+ca)^{2}}\geq \frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{9(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$

$=\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+18\geq 2+18+8=28$ 

P/S:Hơn trong tíc tắc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 12-05-2014 - 18:16

[Viet Hoang 99]

$P=\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{9abc}+\frac{8(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{9abc}+\frac{2(ab+bc+ca)(a+b+c)}{abc}\geqslant 2\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9abc}}+\frac{8.9abc}{9abc}+\frac{2.9abc}{abc}\geqslant 2+8+18=28$

Cơ sở tách là gì anh? Điểm rơi cũng không tách được như này?

Vì đã tách $(a+b+c)^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)(2ab+2bc+2ca)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-05-2014 - 18:18

[HoangHungChelski]

Áp dụng BĐT CBS:
$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^ 2}{a+b+c}$
Ta có: $P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}= \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{abc(a+b+c)}+24\geq \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+bc+ca)^2}+24$
Đặt $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=x\Rightarrow x\geq 1$
$\Rightarrow P\geq 3x^2+\frac{1}{x}+24=3(x-1)^2+6x+\frac{1}{x}+21\geq x+\frac{1}{x}+5x+21\geq 2+5+21=28$
Dấu bằng $\Leftrightarrow a=b=c$

[buitudong1998]

 

Cơ sở tách là gì anh? Điểm rơi cũng không tách được như này?

Vì đã tách $(a+b+c)^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)(2ab+2bc+2ca)$

 

Cơ sở ý à: 

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant 9abc$ và $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant 9abc$

P/s: Bài này cấp 2 học rồi nên nhớ luôn

[Nguyen Tang Sy]

ta có:

$\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$

$=\frac{a+b+c}{abc}.(a+b+c)^{2}$

$=(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}).(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca)$

$\geq \frac{9}{ab+bc+ca}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca)$

$=18+\frac{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}$

 

do đó:

$A \geq 18 + (\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}} {ab+bc+ca} )+ \frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}$

$\rightarrow A \geq 18 + 2 + 8 = 28$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tang Sy: 12-05-2014 - 19:03

[bangbang1412]

Cho $a;b;c>0$. Tìm Min $P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}$

Ta có $P = \frac{\sum ab}{\sum a^{2}} + \frac{\sum a^{3} +3\prod (a+b)}{abc} \geq \frac{\sum ab}{\sum a^{2}} + \frac{\sum a^{3}}{abc}+24$

Do đó $P-28 = \frac{\sum ab-\sum a^{2}}{\sum a^{2}} + \frac{(\sum a)(\sum a^{2}-\sum ab)}{abc}= \frac{(\sum a) (\sum a^{2}-\sum ab)}{abc} - \frac{(\sum a^{2}-\sum ab)}{\sum a^{2}} = (\sum a^{2}-\sum ab) (\frac{\sum a}{abc} - \frac{1}{\sum a^{2}})=(\sum a^{2}-\sum ab) \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-abc}{abc}\geq 0$

Đúng do $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9abc$

Do đó $P\geq 28$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-05-2014 - 19:32

[KietLW9]

Cho $a;b;c>0$. Tìm Min $P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}$

$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}-28=\sum_{cyc}\frac{(b-c)^2[(7a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-abc]}{2abc(a^2+b^2+c^2)}\geqslant 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 03-05-2021 - 22:05